可重复排列计算器（n^r）｜有序抽样数量计算

输入计算

数学公式

Show calculation steps (1)

Empty sequence (r = 0)

There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

结果

Permutations with Replacement P^R(n, r)

个有序序列

n（对象数）	4
r（样本长度）	2
公式	n^r

什么是可重复排列？

可重复排列指的是：从 n 个不同的对象中取出长度为 r 的有序序列，且满足两个条件——（1）取出的顺序很重要；（2）同一个对象可以被多次选取。打个比方，假设有一套含 n 个字母的"字母表"，那么长度为 r 的可重复排列，就是你能用这套字母表拼出的任意一个长度为 r 的"单词"。本计算器使用公式 $P^{R}(n, r) = n^{r}$ 来求出这个数量。

有放回地将项取入有序位置，每个位置可以是任意可用的项 — 有放回时，由于取出的项会放回池中，每个有序位置都可独立地是 n 个项中的任意一个。

如何使用本计算器

请输入 n（可供选择的不同对象数量，即总体），以及 r（你想构成的有序序列长度）。两者都必须是非负整数。点击"计算"后，即可得到所有可能的有序序列总数。由于结果会随指数级增长，数值过大时将以科学记数法显示。

公式详解

序列中的 r 个位置都是相互独立地填入的，又因为允许重复，每个位置都可以取 n 个值中的任意一个。根据乘法原理，总数就是 r 个 n 相乘，即 $n \times n \times \ldots \times n$，结果等于 $n^{r}$。这一点与不可重复排列不同：后者的公式为 $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ 其中每个对象最多只能用一次。

r 个位置中每个都有 n 种选择，相乘得到 n 的 r 次方 — r 个位置中的每一个都独立提供 n 种选择，因此总数是 n 自乘 r 次：n^r。

实例演示

以字母集 {a, b, c, d} 为例，此时 n = 4。长度为 r = 2 的有序对共有多少个呢？$$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ 即 aa、ab、ac、ad、ba、bb、……、dd。若序列更长，则 $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{,}099{,}511{,}627{,}776 \approx 1.0995 \times 10^{12}.$$