ما هو التبديل مع التكرار؟
يُحصي التبديل مع التكرار عدد المتتاليات المرتبة التي طولها r والتي يمكن تكوينها من مجموعة مؤلَّفة من n عنصرًا متمايزًا، وذلك عندما: (1) يكون ترتيب العناصر مهمًّا، و(2) يُسمح باختيار العنصر نفسه أكثر من مرة. تخيّل أبجدية مكوّنة من n حرفًا؛ عندئذٍ يكون التبديل مع التكرار الذي طوله r مجرد أي «كلمة» طولها r يمكن تهجئتها من تلك الأبجدية. تُعيد هذه الحاسبة هذا العدد باستخدام الصيغة $$P^{R}(n, r) = n^{r}.$$
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل قيمة n، أي عدد العناصر المتمايزة المتاحة (حجم المجتمع)، ثم قيمة r، أي طول العينة المرتبة التي تريد تكوينها. يجب أن تكون كلتا القيمتين عددًا صحيحًا غير سالب. اضغط على «احسب» لتحصل على إجمالي عدد المتتاليات المرتبة الممكنة. ولأن العدد ينمو نموًّا أُسيًّا، فإن النتائج الكبيرة جدًّا تُعرض بالصيغة العلمية.
شرح الصيغة
يُملأ كلٌّ من المواضع r في المتتالية بصورة مستقلة، ولأن التكرار مسموح فإن كل موضع يمكن أن يأخذ أيًّا من القيم n. وبتطبيق مبدأ الضرب يصبح الإجمالي \(n \times n \times \ldots \times n\) بعددٍ من العوامل يساوي r، وهو ما يعادل \(n^{r}\). ويختلف ذلك عن التباديل بدون تكرار، \(P(n, r) = n! / (n - r)!\)، حيث يُستخدم كل عنصر مرة واحدة على الأكثر.
مثال محلول
لنأخذ أبجدية {a, b, c, d}؛ هنا \(n = 4\). كم عدد الأزواج المرتبة التي طولها \(r = 2\)؟ $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16,$$ وهي: aa، ab، ac، ad، ba، bb، ... ، dd. أما لسلسلة أطول، فإن $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{,}099{,}511{,}627{,}776 \approx 1.0995 \times 10^{12}.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما تكون r = 0؟ القيمة \(n^{0} = 1\) مهما كانت n — إذ توجد متتالية فارغة واحدة بالضبط. واصطلاحًا تعامل هذه الحاسبة أيضًا القيمة \(0^{0}\) على أنها 1.
ماذا لو كانت n = 0 وr > 0؟ عندئذٍ \(0^{r} = 0\): فبلا وجود أي عناصر يمكن الاختيار منها لا توجد متتاليات غير فارغة.
متى أستخدم هذه الحاسبة بدلًا من التوافيق؟ استخدم التباديل مع التكرار عندما يكون الترتيب مهمًّا والتكرار مسموحًا، مثل أرقام التعريف الشخصي (PIN) ومتتاليات رمي النرد وسلاسل الرموز. أما عندما لا يكون الترتيب مهمًّا فاستخدم التوافيق.
