حاسبة التباديل الزوجية

أدخل الحساب

عدد العناصر (n):

نتائج

عدد التباديل الزوجية

60

عدد العناصر (n)	5
إجمالي التباديل	120
التباديل الفردية	60

ما هي حاسبة التباديل الزوجية؟

تُخبرك حاسبة التباديل الزوجية بعدد التباديل الزوجية الممكنة لمجموعة مكوّنة من n عنصراً مختلفاً. في نظرية الزُمَر (Group Theory)، يُعدّ التبديل «زوجياً» إذا أمكن كتابته كحاصل ضرب عددٍ زوجي من المُبادلات (تبديل عنصرين معاً)، و«فردياً» إذا احتاج إلى عددٍ فردي منها. في أي مجموعة تحتوي على عنصرين أو أكثر، يكون نصف التباديل بالضبط زوجياً والنصف الآخر فردياً. تحسب هذه الأداة هذا العدد فوراً، إلى جانب العدد الإجمالي وعدد التباديل الفردية لمزيد من السياق.

طريقة الاستخدام

تحتوي الحاسبة على حقل إدخال واحد:

• عدد العناصر (n) — أدخِل عدداً صحيحاً موجباً يمثّل حجم مجموعتك. يجب ألّا تتجاوز القيمة 100,000.

بعد إرسال القيمة، تُرجِع الأداة العدد الإجمالي للتباديل (\(n!\))، وعدد التباديل الزوجية، وعدد التباديل الفردية. وإذا أدخلت عدداً غير موجب، أو قيمة تتجاوز 100,000، أو ما ليس عدداً صحيحاً، فستظهر لك رسالة خطأ واضحة بدلاً من النتيجة.

شرح المعادلة

عدد التباديل الزوجية هو:

$$E_n = \frac{n!}{2}$$

هنا \(n!\) (مضروب n أو العاملي) هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 حتى n، وهو يساوي إجمالي عدد طرق ترتيب n عنصراً مختلفاً. وبما أن التباديل الزوجية والفردية تقسّم الزمرة التماثلية (Symmetric Group) إلى نصفين متساويين تماماً، فإن قسمة الإجمالي على 2 يعطي عدد التباديل الزوجية. وتحسب الأداة كذلك التباديل الفردية بالصيغة \(n! - (n!/2)\)، وهي القيمة نفسها — ممّا يؤكّد التقسيم المتساوي. وتعتمد الحاسبة داخلياً على حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة (BigInteger)، لذا تتعامل مع المضروبات الضخمة جداً دون أي تجاوز للحدود.

اعلان

تنقسم جميع التباديل البالغ عددها \(n!\) بالتساوي إلى تباديل زوجية وفردية، لذا نصفها زوجي.

مثال محلول

لنفترض أن \(n = 4\). يكون العدد الإجمالي للتباديل هو ‎\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). وعليه تكون التباديل الزوجية:

$$24 \div 2 = 12$$

إذن، تحتوي مجموعة مكوّنة من 4 عناصر على 12 تبديلاً زوجياً و12 تبديلاً فردياً. وتُشكّل هذه التباديل الزوجية الـ12 الزمرة المتناوبة A₄. أمّا عند \(n = 5\)، فإن ‎\(5! = 120\)، وبالتالي يوجد 60 تبديلاً زوجياً (الزمرة A₅).

يتم الوصول إلى التبديل الزوجي باستخدام عدد زوجي من عمليات التبديل الثنائية.

الأسئلة الشائعة

لماذا تكون النتيجة دائماً نصف \(n!\) بالضبط؟ لأي قيمة \(n \geq 2\)، فإن الضرب في مُبادلة واحدة يحوّل كل تبديل زوجي إلى تبديل فردي مختلف والعكس صحيح، ممّا يُنشئ مقابلة واحد لواحد مثالية. وهذا يضمن تساوي العددين.

ماذا عن \(n = 1\)؟ في حالة عنصر واحد، لا يوجد سوى التبديل المُحايد (الهويّة)، وهو زوجي. والصيغة \(n!/2 = 1/2\) تُقرّب نزولاً إلى 0 في حساب الأعداد الصحيحة، لذا انتبه إلى أن حالة \(n = 1\) تُعدّ حالة حدّية خاصة في الرياضيات البحتة.

هل هناك حدّ أقصى للإدخال؟ نعم. للحفاظ على سرعة الحسابات واستقرارها، يجب أن يكون المُدخَل عدداً صحيحاً موجباً لا يتجاوز 100,000.