ما هو التبديل مع التكرار؟
التبديل مع التكرار هو عدد الطرق المختلفة لملء r من المواضع المرتبة عند الاختيار من بين n عنصرًا متمايزًا، مع إمكانية استخدام كل عنصر أكثر من مرة. ويُرمز له بالرمز \({}^{n}\Pi_{r}\). وبما أن الترتيب مهم والتكرار مسموح، فإن كل موضع يمثل اختيارًا مستقلاً من بين العناصر الـ n جميعها. وهذا مفهوم رياضي بحت ينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
الصيغة الرياضية
إجمالي عدد الترتيبات هو ببساطة n مرفوعًا إلى الأس r:
$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$
ويستند ذلك إلى مبدأ الضرب: الموضع الأول أمامه n من الخيارات، والموضع الثاني أمامه كذلك n من الخيارات (لأن التكرار مسموح)، وهكذا حتى نُكمل جميع المواضع الـ r، فيكون الناتج \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة n، أي عدد العناصر المتمايزة المتاحة، وقيمة r، أي عدد المواضع المراد ملؤها (طول كل تسلسل مرتب). ويجب أن تكون كلتا القيمتين عددين صحيحين غير سالبين. وبما أن التكرار مسموح، فقد تكون r أكبر من n. تُرجع الحاسبة العدد الصحيح الدقيق باستخدام حساب فائق الدقة، بحيث تُعرض حتى النتائج الضخمة بدقة كاملة.
مثال محلول
لنفترض أن لدينا n = 5 من العناصر المتمايزة وr = 3 من المواضع: عندها يكون $$ {}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125. $$ أي أن هناك 125 تسلسلاً مرتبًا بطول 3 مأخوذًا من 5 عناصر مع السماح بالتكرار. وإليك مثالاً آخر: عندما تكون n = 2 وr = 10 يكون الناتج \(2^{10} = 1024\)، وهو عدد السلاسل الثنائية التي يبلغ طولها 10.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا و nPr؟ التباديل العادية بدون تكرار تُحسب بالصيغة \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\)، حيث يُستخدم كل عنصر مرة واحدة على الأكثر. أما هذه الأداة فتسمح بالتكرار، ولذلك تعتمد الصيغة \(n^{r}\).
ماذا لو كانت r = 0؟ عندها \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\)، وهو الترتيب الفارغ الوحيد. ووفقًا للاصطلاح التوافيقي المعتاد، حتى \(0^{0} = 1\) في هذه الحالة.
ماذا لو كانت n = 0 وr ≥ 1؟ النتيجة تساوي 0، لأنه لا يمكن ملء أي موضع من مجموعة عناصر فارغة.
