ماذا تفعل حاسبة التباديل هذه؟
تحسب هذه الأداة عدد التباديل — ويُرمز له بـ \(nPr\) أو \(P(n, r)\) — لمجموعة معيّنة من العناصر. يُعدّ التبديل عدد الترتيبات المرتّبة التي يمكنك تكوينها عند اختيار r من عنصر من أصل n عنصرًا. الترتيب مهم هنا، فاختيار A ثم B يُحسب على حِدة عن اختيار B ثم A. كل ما عليك إدخاله رقمان صحيحان فقط، وتظهر النتيجة على الفور.
المُدخلان
- العدد الكلي للعناصر (n): حجم المجموعة الكاملة التي تختار منها.
- عدد العناصر المراد ترتيبها (r): كم عنصرًا من تلك العناصر ستختاره وترتّبه.
يجب أن تكون القيمتان عددين صحيحين غير سالبين، وأن يكون n أكبر من أو يساوي r. تقبل الحاسبة القيم الكبيرة — حتى 100,000 — وتستخدم حسابًا بدقة لا متناهية (BigInteger) كي تُحسب حتى النتائج الضخمة بدقة تامة دون أي تقريب.
الصيغة الرياضية
تعتمد الحاسبة الصيغة المعيارية للتباديل:
$$P(n, r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$
هنا تعني علامة "!" المضروب (العاملي) — أي حاصل ضرب كل عدد صحيح من 1 حتى تلك القيمة. تحسب الأداة كلًّا من \(n!\) و\((n - r)!\) على حدة، ثم تقسم الأول على الثاني لتحصل على العدد الدقيق للترتيبات المرتّبة.
مثال محلول
لنفترض أنك تريد معرفة عدد الطرق التي يمكن بها لثلاثة عدّائين أن يحلّوا أولًا وثانيًا وثالثًا في سباق يضم 5 رياضيين. أدخل n = 5 وr = 3:
- \(5! = 120\)
- \((5 - 3)! = 2! = 2\)
- $$P(5, 3) = \frac{120}{2} = \mathbf{60}$$
إذن هناك 60 ترتيبًا ممكنًا للمراكز الثلاثة الأولى.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟
يُحصي التبديل الترتيبات المرتّبة، بينما يتجاهل التوفيق الترتيب. تستخدم هذه الحاسبة صيغة التباديل، لذا تُعدّ الترتيبات المختلفة لنفس العناصر نتائج متمايزة.
ماذا يحدث إذا كان r أكبر من n؟
هذا غير مسموح. تُظهر الحاسبة رسالة خطأ لأنه لا يمكنك ترتيب عناصر أكثر مما تملك. يجب أن يبقى \(n \geq r\).
هل يمكنني استخدام القيمة 0 لـ r؟
نعم. تساوي \(P(n, 0)\) دائمًا 1، لأن هناك طريقة واحدة فقط لترتيب لا شيء — وهي الترتيب الفارغ.
