この順列計算機でできること
この計算機は、指定した個数に対する順列の数（nPr または P(n, r) と表記）を求めます。順列とは、全部で n 個ある中から r 個を選んで順番に並べる方法が何通りあるかを数えるものです。ここでは順序が意味を持つため、「A→B」と「B→A」は別の並べ方としてカウントされます。入力するのは2つの整数だけで、結果はその場ですぐに表示されます。
2つの入力項目
- 全体の個数（n）：選ぶ対象となる集合全体の大きさです。
- 並べる個数（r）：そのうち何個を選んで順番に並べるかを表します。
どちらの値も0以上の整数で入力する必要があり、n は r 以上でなければなりません。本計算機は大きな数値にも対応しており、最大100,000まで入力可能です。さらに任意精度演算（BigInteger）を用いているため、結果がどれほど巨大になっても四捨五入することなく正確に計算します。
計算式
本計算機は、標準的な順列の公式を用いて計算します。
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$
ここで「!」は階乗を表し、1からその数までのすべての整数を掛け合わせた値です。本ツールは \(n!\) と \((n - r)!\) をそれぞれ計算し、一方を他方で割ることで、順番を区別した並べ方の総数を正確に求めます。
計算例
たとえば、5人の選手が出場するレースで、1位・2位・3位の3つの順位をどのように決められるかを知りたいとします。n = 5、r = 3 と入力すると、次のようになります。
- \(5! = 120\)
- \((5 - 3)! = 2! = 2\)
- \(P(5, 3) = 120 \div 2 = \mathbf{60}\)
つまり、上位3位までの順位の決まり方は60通りあるということです。
よくある質問
順列と組み合わせは何が違うのですか？
順列は順番を区別して並べ方を数えるのに対し、組み合わせは順番を考慮しません。本計算機は順列の公式を用いるため、同じ要素でも並べる順序が異なれば別の結果としてカウントします。
r が n より大きい場合はどうなりますか？
それは認められません。持っている個数より多くを並べることはできないため、計算機はエラーを返します。必ず \(n \geq r\) となるように入力してください。
r に0を入力してもよいですか？
はい。\(P(n, 0)\) は常に1になります。何も並べない「空の並べ方」が1通りだけ存在するためです。
