このツールでできること
「重複順列の計算ツール」は、繰り返しを許したときに作れる順序付きの並べ方が何通りあるかを数えるツールです。n 種類のアイテムから選び、r 個の位置を埋めていきます。同じ種類のアイテムを何度でも使えるため、どの位置でも選択肢の数は変わりません。したがって答えは、n を r 乗した値になります。これは、暗証番号（PIN）やパスワード、サイコロの目、ナンバープレートのように、同じ値が複数回現れてもよい場面で使われる、最も基本的な数え上げのルールです。
入力する値
- アイテムの種類数（n）：各位置で選べる選択肢の数です。たとえば 0〜9 の数字なら 10、アルファベットなら 26 となります。
- 埋める位置の数（r）：埋めたい枠の数です。たとえば 4 桁の暗証番号なら 4 です。
どちらも整数として扱われます。入力すると、ツールが可能な順序付きの並べ方の総数を返します。
計算式
計算には、重複順列の公式を使います。
$$P(n, r) = n^{r}$$考え方はシンプルです。1 つ目の位置には n 通りのアイテムを置け、2 つ目の位置にも（繰り返しが許されるため）同じく n 通りを置け……これが r 個の位置すべてで続きます。n を r 回掛け合わせると \(n^{r}\) になります。ここでは順序が意味を持つため、「AB」と「BA」は別の並べ方として数えます。
計算例
4 桁の暗証番号（PIN）が全部で何通りあるかを数えてみましょう。数字は 0〜9 の 10 種類なので n = 10、埋める位置は 4 つなので r = 4 です。
- \(P(10, 4) = 10^{4}\)
- \(= 10 \times 10 \times 10 \times 10\)
- = 10,000 通りの暗証番号（0000 から 9999 まで）。
n = 10、r = 4 と入力すると、ツールは 10,000 を返します。
よくある質問
通常の順列とは何が違うのですか？ 繰り返しを許さない通常の順列では、同じアイテムを使えないため \(n!/(n-r)!\) を用います。一方、重複を許す場合はどの位置でも常に n 通りの選択肢があるため \(n^{r}\) となり、結果として総数は大きくなります。
この計算では順序は関係しますか？ はい、関係します。それぞれの並べ方は順序付きの列として扱われるため、同じアイテムでも並び順が違えば別々に数えます。もし順序を区別しない場合は、代わりに「重複組み合わせ」の公式を使います。
r は n より大きくできますか？ もちろん可能です。アイテムを繰り返し使えるため、r が n を超えても問題ありません。たとえば 4 種類の記号から 6 文字のコードを作る場合、\(4^{6} = 4{,}096\) 通りになります。
