이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
중복순열 계산기는 중복을 허용했을 때 만들 수 있는 순서 있는 배열의 가짓수를 계산합니다. n가지 종류의 아이템 중에서 골라 r개의 자리를 채우는데, 같은 종류를 몇 번이고 다시 쓸 수 있기 때문에 모든 자리에서 선택지의 수가 똑같습니다. 따라서 결과는 간단히 n을 r번 거듭제곱한 값이 됩니다. PIN 번호, 비밀번호, 주사위 굴리기, 자동차 번호판처럼 같은 값이 두 번 이상 나올 수 있는 상황에서 쓰이는 대표적인 경우의 수 계산 규칙입니다.
입력해야 할 값
- 아이템 종류 수(n): 각 자리에 들어갈 수 있는 서로 다른 선택지의 개수입니다. 예를 들어 숫자 10개(0~9)나 알파벳 26개가 여기에 해당합니다.
- 채울 자리 수(r): 채워야 하는 칸의 개수로, 예를 들어 PIN 번호의 4자리가 이에 해당합니다.
두 값은 모두 자연수로 처리되며, 계산기는 가능한 순서 있는 배열의 총 가짓수를 알려줍니다.
계산 공식
중복순열 규칙에 따라 계산합니다.
$$P(n, r) = \text{n}^{\text{r}}$$
원리는 단순합니다. 첫 번째 자리에는 n개 중 어느 것이든 올 수 있고, 두 번째 자리에도 (중복이 허용되므로) 역시 n개 중 어느 것이든 올 수 있으며, 이런 식으로 r개의 자리 전부가 마찬가지입니다. n을 r번 곱하면 \(\text{n}^{\text{r}}\)가 됩니다. 여기서는 순서가 중요하므로 "AB"와 "BA"는 서로 다른 배열로 셉니다.
예제로 풀어보기
가능한 4자리 PIN 번호의 개수를 모두 세어본다고 해봅시다. 숫자 종류는 10개(0부터 9까지)이므로 \(n = 10\)이고, 채울 자리는 4개이므로 \(r = 4\)입니다.
- $$P(10, 4) = 10^{4}$$
- $$= 10 \times 10 \times 10 \times 10$$
- = 10,000가지 (0000부터 9999까지)
n = 10, r = 4를 입력하면 계산기는 10,000을 보여줍니다.
자주 묻는 질문
일반 순열과는 무엇이 다른가요? 중복을 허용하지 않는 일반 순열은 같은 아이템을 다시 쓸 수 없기 때문에 \(n!/(n-r)!\)을 사용합니다. 반면 중복순열은 모든 자리에서 여전히 n개의 선택지가 있어 \(\text{n}^{\text{r}}\)가 되며, 결과적으로 더 큰 가짓수가 나옵니다.
이 계산에서 순서가 중요한가요? 네. 각 배열을 순서가 있는 나열로 보기 때문에 같은 아이템이라도 순서가 다르면 따로 셉니다. 만약 순서가 중요하지 않다면 중복조합 공식을 써야 합니다.
r이 n보다 커도 되나요? 물론입니다. 아이템을 다시 쓸 수 있기 때문에 r이 n보다 커도 전혀 문제없습니다. 예를 들어 4가지 기호로 6자리 코드를 만들면 \(4^{6} = 4{,}096\)가지가 나옵니다.
