이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 경우의 수(조합론)의 두 가지 핵심 개념인 순열(nPr)과 조합(nCr)을 계산합니다. 서로 다른 전체 항목의 개수 n과, 그중에서 뽑거나 나열할 개수 r을 입력하면 각각 몇 가지 경우의 수가 가능한지 알려줍니다. 순열은 순서가 중요한 배열의 수를 세고, 조합은 순서를 따지지 않는 선택의 수를 셉니다.
사용 방법
전체 항목 수(n)와 뽑을 개수(r)를 입력한 뒤 결과를 확인하세요. 상단의 강조 박스에는 순열의 수가, 아래 표에는 조합의 수가 표시됩니다. 단, r은 n보다 작거나 같아야 합니다. r이 n보다 크면 뽑을 방법이 없으므로 결과는 0이 됩니다.
공식 풀이
두 공식 모두 팩토리얼(계승)을 바탕으로 합니다. 여기서 \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\) 이며, \(0! = 1\) 입니다. 순열 공식
$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$은 뽑지 않은 항목들의 배열을 나누어 제거합니다. 조합 공식
$$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$은 여기에 더해 순서가 의미 없으므로 뽑은 항목들의 중복된 순서를 없애기 위해 \(r!\)로 한 번 더 나눕니다.
예제로 살펴보기
책 5권이 있고, 책꽂이의 3칸을 채우는 방법이 몇 가지인지 알고 싶다고 해봅시다. 순열의 경우:
$$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = \mathbf{60}$$가지의 순서 있는 배열이 나옵니다. 만약 순서는 상관없이 어떤 책 3권을 고르는지만 따진다면, 조합의 경우:
$$\frac{5!}{3!\cdot 2!} = \frac{120}{6\cdot 2} = \mathbf{10}$$가지의 선택이 됩니다.
자주 묻는 질문
순열과 조합은 언제 구분해서 쓰나요? 순서가 중요할 때는 순열을 사용합니다(비밀번호, 달리기 등수, 좌석 배치 등). 순서가 상관없을 때는 조합을 사용합니다(로또 번호, 위원회 구성, 토핑 고르기 등).
왜 nCr은 항상 nPr보다 작거나 같나요? 하나의 조합은 \(r!\)개의 순열에 대응하기 때문입니다. 즉 조합의 수는 순열의 수를 \(r!\)로 나눈 값입니다.
n이 아주 클 때는 어떻게 되나요? 팩토리얼은 매우 빠르게 커집니다. 이 계산기는 표준 배정밀도(double) 숫자의 범위를 넘기 전인 약 \(n = 170\) 정도까지 처리할 수 있습니다.
