이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 조합론의 핵심 질문에 답합니다. 서로 다른 n개의 대상으로 이루어진 집합에서 r개의 표본을 선택하거나 배열하는 방법은 몇 가지일까요? '순서가 중요한가'와 '중복(다시 뽑기)을 허용하는가'라는 두 가지 예/아니오 선택으로 나뉘는 네 가지 표본 추출 경우를 모두 다루며, 여기에 더해 팩토리얼, 우순열·기순열, 원순열 같은 단독 계산도 지원합니다. 모든 결과는 단위가 없는 '경우의 수'이므로 단위나 변환은 필요 없습니다.
네 가지 표본 추출 경우
조합(순서 무관, 중복 없음): $$ {}_nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!} $$ 순열(순서 중요, 중복 없음): $$ {}_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!} $$ 중복조합(순서 무관, 중복 허용): \( CR(n,r) = C(n+r-1, r) \). 중복순열(순서 중요, 중복 허용): \( PR(n,r) = n^r \). 중복을 허용하지 않는 경우, \(r\)이 \(n\)보다 크면 결과는 0이 됩니다. 존재하는 개수보다 많이 뽑을 수는 없기 때문입니다.
단독 계산
팩토리얼 \( n! = n(n-1)\cdots 2\cdot 1 \)이며, \( 0! = 1 \)입니다. 우순열(짝수 순열) \( = n!/2 \) (\(n\)이 2 이상일 때, 교대군의 크기). 기순열(홀수 순열) \( = n!/2 \) (\(n\)이 2 이상일 때, 그 외에는 0). 원순열 \( = (n-1)! \), \(n\)개의 대상을 원형으로 배열할 때 회전해서 같아지는 배열을 하나로 보는 서로 다른 배열의 수입니다.
사용 방법
집합의 크기 \(n\)과 표본 크기 \(r\)을 입력하고, 선택 유형을 고른 뒤 경우의 수를 확인하세요. \(r\)을 사용하지 않는 모드(팩토리얼, 우순열, 기순열, 원순열)는 \(n\) 값만 사용합니다.
예제로 풀어보기
10명의 참가자 중 순서와 상관없이 당첨자 3명을 뽑는다면, 조합을 선택하고 \(n = 10\), \(r = 3\)을 입력합니다. 결과는 $$ C(10,3) = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{720}{6} = 120 $$ 입니다. 만약 순서가 중요하다면(금·은·동메달처럼) 순열로 바꿔 $$ P(10,3) = 10\cdot 9\cdot 8 = 720 $$ 을 얻습니다.
자주 묻는 질문
조합과 순열은 언제 구분해서 쓰나요? 선택 순서가 상관없을 때(예: 위원회 구성)는 조합을, 순서가 의미를 가질 때(예: 순위, 비밀번호)는 순열을 사용합니다.
'중복 허용'은 무슨 뜻인가요? 뽑은 항목을 다시 제자리에 넣는 것으로, 같은 항목이 다시 뽑힐 수 있습니다. 반복을 허용하는 표본 추출에 유용합니다.
아주 큰 결과에서 정밀도가 떨어지는 이유는? 경우의 수는 팩토리얼 속도로 폭발적으로 커져 정확한 부동소수점 범위를 넘어설 수 있습니다. \(n\)과 \(r\)이 매우 클 때는 표시된 정수를 근삿값으로 받아들이세요.
