Calculateur de permutations et combinaisons (tirage d'échantillon)

Entrez le calcul

Taille de l'ensemble (n) — nombre d'objets disponibles

Taille de l'échantillon (r) — nombre d'objets choisis

Type de tirage Combinaisons — l'ordre n'importe pas, sans remise (nCr) Permutations — l'ordre compte, sans remise (nPr) Combinaisons avec remise — ordre : non, avec remise (CR) Permutations avec remise — ordre : oui, avec remise (n^r) Factorielle — n! (ignore r) Permutations paires — n!/2 (ignore r) Permutations impaires — n!/2 (ignore r) Permutation circulaire — (n-1)! (ignore r)

Formule

Show calculation steps (1)

1. Permutations (no replacement)

   

   Number of ordered arrangements of r items chosen from n.

Résultats

Nombre de façons

120

résultats possibles au total

Formule utilisée	nCr = n! / (r!(n-r)!)
Taille de l'ensemble (n)	10
Taille de l'échantillon (r)	3

À quoi sert ce calculateur

Cet outil répond à la question fondamentale de l'analyse combinatoire : de combien de façons peut-on choisir ou ordonner un échantillon de r éléments parmi un ensemble de n objets distincts ? Il couvre les quatre cas de tirage définis par deux questions à réponse oui/non — l'ordre compte-t-il, et la remise est-elle autorisée ? — ainsi que des calculs autonomes : la factorielle, les permutations paires et impaires, et les permutations circulaires. Chaque résultat est un dénombrement sans dimension : ni unités, ni conversions ne sont en jeu.

Les quatre cas de tirage

Combinaisons (ordre : non, remise : non) : $${}_nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ Permutations (ordre : oui, remise : non) : $${}_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$ Combinaisons avec remise (ordre : non, remise : oui) : $$CR(n,r) = C(n+r-1, r)$$ Permutations avec remise (ordre : oui, remise : oui) : $$PR(n,r) = n^r$$ Pour les cas sans remise, si \(r\) dépasse \(n\) le résultat est 0, car on ne peut pas tirer plus d'éléments qu'il n'en existe.

Les quatre cas de sélection d'échantillon classés selon que l'ordre importe et que la remise est autorisée.

Calculs autonomes

Factorielle \(n! = n(n-1)\cdots 2\cdot 1\), avec \(0! = 1\). Permutations paires = \(n!/2\) pour \(n\) supérieur ou égal à 2 (l'ordre du groupe alterné). Permutations impaires = \(n!/2\) pour \(n\) supérieur ou égal à 2, et 0 sinon. Permutation circulaire = \((n-1)!\), le nombre d'arrangements distincts de \(n\) objets disposés en cercle, où les rotations sont considérées comme identiques.

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Les permutations circulaires comptent comme équivalents les arrangements en anneau identiques par rotation.

Comment l'utiliser

Saisissez la taille de votre ensemble \(n\) et la taille de l'échantillon \(r\), choisissez un type de tirage, puis lisez le nombre de façons. Les modes qui ignorent \(r\) (factorielle, paires, impaires, circulaire) n'utilisent que \(n\).

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Exemple détaillé

Désigner 3 gagnants parmi 10 candidats, l'ordre n'ayant pas d'importance : choisissez Combinaisons avec \(n = 10\), \(r = 3\). Le résultat est $$C(10,3) = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$ Si l'ordre comptait (or, argent, bronze), passez à Permutations et obtenez $$P(10,3) = 10\cdot 9\cdot 8 = 720$$

FAQ

Quand utiliser les combinaisons plutôt que les permutations ? Utilisez les combinaisons lorsque l'ordre du tirage est sans importance (un comité), et les permutations lorsque l'ordre compte (classements, mots de passe).

Que signifie « avec remise » ? Après avoir tiré un élément, vous le remettez en jeu, de sorte que le même élément peut être choisi à nouveau — utile pour un échantillonnage avec répétition.

Pourquoi de très grands résultats peuvent-ils perdre en précision ? Les dénombrements croissent à une vitesse factorielle et peuvent dépasser la plage exacte des nombres à virgule flottante ; pour des \(n\) et \(r\) très grands, considérez l'entier affiché comme une approximation proche.