À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule à la fois les permutations (nPr) et les combinaisons (nCr) à partir d'un ensemble de n éléments dans lequel vous en sélectionnez r. Les permutations comptent le nombre d'arrangements ordonnés, tandis que les combinaisons comptent les sélections sans tenir compte de l'ordre. Le calculateur affiche également la factorielle de n, à titre de référence.
Comment l'utiliser
Indiquez le nombre total d'éléments n et le nombre que vous choisissez r, avec \(0 \le r \le n\). Cliquez sur « Calculer » pour afficher nPr et nCr. Si r est supérieur à n, le résultat est 0 : impossible de choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
Une factorielle \(n!\) correspond au produit de tous les entiers positifs jusqu'à n (par exemple \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\)). Les permutations s'écrivent $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ l'ordre compte, donc échanger deux éléments choisis donne un arrangement différent. Les combinaisons s'écrivent $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ on divise par \(r!\) pour éliminer les doublons d'ordre, puisque l'ordre n'a ici aucune importance.
Exemple concret
Prenons \(n = 5\) et \(r = 2\). On obtient $$nPr = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$ paires ordonnées. Et $$nCr = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$ paires non ordonnées. On remarque que nPr est toujours supérieur ou égal à nCr, car chaque combinaison peut être ordonnée de \(r!\) façons.
FAQ
Quand utiliser les permutations plutôt que les combinaisons ? Utilisez les permutations lorsque l'ordre compte (classements, mots de passe, arrivées d'une course) et les combinaisons lorsqu'il n'a pas d'importance (tirages de loto, comités, mains de cartes).
Que se passe-t-il si \(r = 0\) ? nPr et nCr valent tous deux 1 : il n'existe qu'une seule façon de ne rien choisir.
Quelle est la valeur maximale de n ? Les factorielles augmentent extrêmement vite ; ce calculateur accepte donc n jusqu'à 170 avant de dépasser les limites de la virgule flottante.
