À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de combinaisons avec répétition détermine de combien de façons vous pouvez choisir r objets parmi n types distincts lorsque les répétitions sont autorisées et que l'ordre du tirage n'a pas d'importance. C'est une formule incontournable en combinatoire et en probabilités, souvent surnommée le problème des « étoiles et barres ». Comme chaque type peut être sélectionné plusieurs fois, le nombre de possibilités est plus élevé que pour les combinaisons classiques sans répétition.
Les données à saisir
- Nombre total de types d'objets (n) : le nombre de catégories distinctes parmi lesquelles vous pouvez choisir — par exemple 3 parfums de glace.
- Nombre d'objets à choisir (r) : le nombre total de sélections que vous effectuez, sachant qu'un même type peut être repris plusieurs fois.
Indiquez ces deux valeurs sous forme de nombres entiers et le calculateur renvoie immédiatement un résultat unique : le nombre de multiensembles distincts (des sélections non ordonnées qui acceptent les répétitions).
La formule
L'outil applique l'équation standard des combinaisons avec répétition :
$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$
En interne, il calcule trois factorielles — \((n + r - 1)!\), \(r!\) et \((n - 1)!\) — puis effectue la division indiquée. Comme il s'appuie sur des factorielles exactes et une arithmétique sur les entiers, le résultat est un nombre entier exact, et non une approximation.
Exemple concret
Imaginons un glacier qui propose n = 3 parfums et que vous souhaitiez une coupe à r = 2 boules, en pouvant répéter un parfum. Saisissez n = 3 et r = 2 :
- \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
Il existe donc 6 coupes possibles à deux boules : AA, BB, CC, AB, AC et BC. Le calculateur affiche 6 instantanément.
Questions fréquentes
En quoi est-ce différent des combinaisons classiques ? Les combinaisons ordinaires, \(C(n, r)\), interdisent les répétitions — chaque objet est choisi au maximum une fois. Les combinaisons avec répétition permettent de sélectionner plusieurs fois le même type, d'où le passage à \(C(n + r - 1, r)\).
L'ordre compte-t-il ici ? Non. AB et BA correspondent à la même sélection. Si l'ordre importait, il faudrait utiliser les arrangements (permutations).
r peut-il être supérieur à n ? Oui. Puisque les répétitions sont autorisées, vous pouvez choisir plus d'objets qu'il n'existe de types — par exemple prendre 5 boules parmi 3 parfums est tout à fait valable et donne un nombre de possibilités plus grand.
