À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule deux grandeurs fondamentales de l'analyse combinatoire : les permutations (nPr) et les combinaisons (nCr). Vous indiquez le nombre total d'éléments distincts, n, ainsi que le nombre d'éléments que vous souhaitez sélectionner ou arranger, r. Le calculateur vous donne le nombre de résultats possibles dans chaque cas. Les permutations dénombrent les arrangements où l'ordre compte, tandis que les combinaisons dénombrent les sélections où l'ordre n'a pas d'importance.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre total d'éléments (n) puis le nombre d'éléments choisis (r), et consultez les résultats. L'encadré principal affiche le nombre de permutations, et le tableau situé en dessous indique le nombre de combinaisons. Attention : r doit être inférieur ou égal à n ; si r est supérieur à n, aucun choix n'est possible et le résultat affiché est donc 0.
Les formules expliquées
Les deux formules reposent sur la factorielle, où \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\), sachant que \(0! = 1\). La formule des permutations $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ élimine les arrangements des éléments que vous n'avez pas retenus. La formule des combinaisons $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ divise en plus par \(r!\) afin de supprimer les ordres redondants des éléments sélectionnés, puisque l'ordre est ici indifférent.
Exemple concret
Imaginons que vous disposiez de 5 livres et que vous vouliez savoir de combien de façons vous pouvez remplir 3 emplacements sur une étagère. Permutations : $$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = \mathbf{60}$$ arrangements ordonnés. Si seul vous importe de savoir quels 3 livres vous choisissez (sans tenir compte de l'ordre), combinaisons : $$\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \mathbf{10}$$ sélections.
Questions fréquentes
Quand utiliser les permutations plutôt que les combinaisons ? Utilisez les permutations lorsque l'ordre compte (mots de passe, arrivées d'une course, plan de table) et les combinaisons lorsqu'il n'a pas d'importance (tirages de loterie, composition d'un comité, choix de garnitures).
Pourquoi nCr est-il toujours inférieur ou égal à nPr ? Chaque combinaison correspond à \(r!\) permutations ; les combinaisons représentent donc le nombre de permutations divisé par \(r!\).
Et pour de très grandes valeurs de n ? Les factorielles croissent extrêmement vite. Ce calculateur gère des valeurs jusqu'à environ \(n = 170\) avant de dépasser la plage des nombres à virgule flottante en double précision.
