यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल कॉम्बिनेटोरिक्स (संयोजन गणित) की दो बुनियादी राशियाँ निकालता है: क्रमचय (nPr) और संचय (nCr)। आप अलग-अलग वस्तुओं की कुल संख्या n और उनमें से जितनी आप चुनना या सजाना चाहते हैं वह संख्या r डालते हैं। कैलकुलेटर बता देता है कि हर स्थिति में कितने अलग-अलग परिणाम संभव हैं। क्रमचय उन व्यवस्थाओं को गिनता है जहाँ क्रम मायने रखता है, जबकि संचय उन चयनों को गिनता है जहाँ क्रम से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।
इसका उपयोग कैसे करें
वस्तुओं की कुल संख्या (n) और आप जितनी चुन रहे हैं वह संख्या (r) डालें, फिर परिणाम पढ़ें। ऊपर वाला मुख्य बॉक्स क्रमचय की संख्या दिखाता है, और नीचे की तालिका संचय की संख्या दिखाती है। ध्यान रखें कि r का मान n से कम या बराबर होना चाहिए; अगर r, n से बड़ा हो तो चुनने का कोई तरीका नहीं बचता, इसलिए परिणाम 0 आता है।
सूत्रों की व्याख्या
दोनों सूत्र फैक्टोरियल फ़ंक्शन पर आधारित हैं, जहाँ \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\), और \(0! = 1\)। क्रमचय का सूत्र $$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ उन वस्तुओं की व्यवस्थाओं को हटा देता है जिन्हें आपने नहीं चुना। संचय का सूत्र $$C(n,r) = \frac{\text{n}!}{\text{r}! \left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ इसके अलावा \(r!\) से भी भाग देता है ताकि चुनी गई वस्तुओं के दोहराए गए क्रम हट जाएँ, क्योंकि यहाँ क्रम का कोई महत्व नहीं होता।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आपके पास 5 किताबें हैं और आप जानना चाहते हैं कि एक शेल्फ़ पर 3 जगहें कितने तरीकों से भरी जा सकती हैं। क्रमचय: $$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = \mathbf{60}$$ क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ। अगर आपको सिर्फ़ इस बात की परवाह है कि कौन-सी 3 किताबें चुनी गईं (उनका क्रम नहीं), तो संचय: $$\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \mathbf{10}$$ चयन।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्रमचय और संचय में से कब किसका उपयोग करूँ? क्रमचय का उपयोग तब करें जब क्रम मायने रखता हो (पासवर्ड, दौड़ में स्थान, बैठने की व्यवस्था), और संचय का उपयोग तब करें जब क्रम मायने न रखे (लॉटरी के नंबर, समितियाँ, टॉपिंग चुनना)।
nCr हमेशा nPr से छोटा या बराबर क्यों होता है? हर एक संचय \(r!\) क्रमचयों के बराबर होता है, इसलिए संचय की संख्या क्रमचय की संख्या को \(r!\) से भाग देने पर मिलती है।
बहुत बड़े n का क्या? फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं। यह कैलकुलेटर लगभग \(n = 170\) तक के मानों को संभाल सकता है, उससे आगे यह मानक डबल-प्रिसिज़न संख्याओं की सीमा से बाहर निकल जाता है।
