Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет две ключевые величины из комбинаторики: размещения (nPr) и сочетания (nCr). Вы указываете общее число различных элементов — n — и сколько из них хотите выбрать или расставить — r. Калькулятор показывает, сколько разных вариантов возможно в каждом случае. Размещения учитывают расстановки, в которых порядок важен, а сочетания — выборки, где порядок не имеет значения.
Как пользоваться
Введите общее количество элементов (n) и число выбираемых (r), а затем посмотрите результаты. В верхнем блоке выводится число размещений, а в таблице ниже — число сочетаний. Помните, что r должно быть меньше или равно n; если r больше n, выбрать невозможно, поэтому результат равен 0.
Разбираем формулы
Обе формулы опираются на факториал, где \(n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\), а \(0! = 1\). Формула размещений $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ исключает перестановки тех элементов, которые вы не выбрали. Формула сочетаний $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ дополнительно делит на \(r!\), чтобы убрать повторяющиеся порядки выбранных элементов, ведь порядок здесь не важен.
Пример с решением
Допустим, у вас есть 5 книг и нужно узнать, сколькими способами можно заполнить 3 места на полке. Размещения: $$\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$$ упорядоченных расстановок. Если же важно только то, какие 3 книги вы выбираете (а не их порядок), считаем сочетания: $$\frac{5!}{3!\cdot 2!} = \frac{120}{6\cdot 2} = 10$$ вариантов.
Частые вопросы
Когда брать размещения, а когда сочетания? Размещения — когда важен порядок (пароли, призовые места в гонке, рассадка), а сочетания — когда порядок не важен (числа в лотерее, состав комитета, выбор начинок).
Почему nCr всегда меньше или равно nPr? Каждому сочетанию соответствует \(r!\) размещений, поэтому число сочетаний — это число размещений, делённое на \(r!\).
А что с очень большими n? Факториалы растут стремительно. Этот калькулятор работает со значениями примерно до \(n = 170\), после чего числа выходят за пределы стандартной двойной точности (double).
