Что считает этот калькулятор
Этот инструмент отвечает на главный вопрос комбинаторики: сколькими способами можно выбрать или расставить выборку из r элементов, взятых из множества n различных объектов? Он покрывает все четыре случая выборки, которые задаются двумя вопросами «да/нет» — важен ли порядок и допускаются ли повторения, — а также отдельные подсчёты: факториал, чётные и нечётные перестановки и круговые перестановки. Любой результат здесь — это безразмерное число способов, поэтому никаких единиц измерения и пересчётов не требуется.
Четыре случая выборки
Сочетания (порядок не важен, без повторений): $${}_nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ Размещения (порядок важен, без повторений): $${}_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$ Сочетания с повторениями (порядок не важен, повторения возможны): $$CR(n,r) = C(n+r-1, r)$$ Размещения с повторениями (порядок важен, повторения возможны): $$PR(n,r) = n^r$$ В случаях без повторений, если \(r\) больше \(n\), ответ равен 0 — нельзя выбрать больше элементов, чем их есть на самом деле.
Отдельные подсчёты
Факториал $$n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1$$ причём \(0! = 1\). Чётные перестановки \(= n!/2\) при \(n \ge 2\) (это порядок знакопеременной группы). Нечётные перестановки \(= n!/2\) при \(n \ge 2\) и 0 в остальных случаях. Круговая перестановка \(= (n-1)!\) — число различных способов расставить \(n\) объектов по кругу, если повороты считаются одинаковыми расстановками.
Как пользоваться
Укажите размер множества \(n\) и размер выборки \(r\), выберите тип выборки — и сразу увидите число способов. Режимы, в которых \(r\) не используется (факториал, чётные, нечётные и круговые перестановки), опираются только на значение \(n\).
Разбор примера
Нужно выбрать 3 победителей из 10 участников, причём порядок не важен: выберите «Сочетания» с \(n = 10\), \(r = 3\). Результат: $$C(10,3) = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$ Если же порядок важен (золото, серебро, бронза), переключитесь на «Размещения» и получите $$P(10,3) = 10\cdot 9\cdot 8 = 720$$
Частые вопросы
Когда использовать сочетания, а когда размещения? Сочетания применяют, когда порядок выбора не имеет значения (например, состав комиссии), а размещения — когда порядок важен (рейтинги, пароли).
Что значит «с повторениями»? После выбора элемент как бы возвращается обратно, поэтому один и тот же объект можно выбрать снова — это удобно для выборки с повторением.
Почему очень большие результаты могут терять точность? Число способов растёт факториально быстро и может выйти за пределы точного представления чисел с плавающей точкой. Для очень больших \(n\) и \(r\) показанное целое значение стоит воспринимать как близкое приближение.
