Этот калькулятор сочетаний (nCr) помогает определить, сколькими способами можно выбрать выборку заданного размера из набора различных объектов, когда порядок не имеет значения, а повторения не допускаются. Он идеально подходит для решения задач на сочетания и размещения в теории вероятностей, статистике и других областях.
Что такое сочетания?
В комбинаторике сочетание — это способ выбора элементов из большего множества, при котором порядок не важен. Этим оно отличается от размещений, где порядок имеет значение.
Стандартная формула сочетаний выглядит так:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$Где:
- \(n\) — общее число элементов в множестве;
- \(r\) — размер выборки, то есть количество выбираемых элементов;
- \(!\) — факториал.
Этот калькулятор вычисляет сочетания без повторений — то есть каждый объект используется в сочетании только один раз.
Когда пригодится этот калькулятор
- Выбор группы победителей из большего числа участников;
- Выбор карт из колоды, когда порядок не имеет значения;
- Решение статистических задач, связанных с сочетаниями и размещениями;
- Подсчёт числа вариантов, когда нужны именно сочетания, а не размещения.
Как это работает
- Введите число элементов (n): укажите общее количество объектов в множестве.
- Введите размер выборки (r): задайте, сколько элементов вы хотите выбрать.
- Нажмите «Рассчитать»: калькулятор применит формулу сочетаний и вычислит результат.
- Посмотрите результат: вы увидите, сколькими способами можно выбрать
rэлементов изn, когда порядок не имеет значения.
Пример расчёта
Допустим, нужно выбрать 3 элемента из множества в 10 элементов:
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!\left(10-3\right)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$Таким образом, существует 120 сочетаний из 3 элементов, выбираемых из множества в 10 элементов.
Часто задаваемые вопросы
1. Чем сочетания отличаются от размещений?
Сочетания используются, когда порядок не важен, а размещения — когда порядок имеет значение. Например, выбор членов команды — это сочетание, а распределение задач между ними — размещение.
2. Можно ли рассчитать сочетания с повторениями?
Этот калькулятор предназначен для сочетаний без повторений. Если повторения допускаются, применяется другая формула: n+r-1Cr.
3. Что будет, если размер выборки больше общего числа элементов?
Нельзя выбрать больше элементов, чем есть в множестве. Если r > n, сочетание математически не определено.
Таблица ссылок nCr для общих значений
Таблица ниже показывает \(C(n, r)\) для малых значений \(n\) (от 1 до 10) для каждого допустимого выбора \(r\) (от 0 до \(n\)). Это известный треугольник Паскаля: каждое внутреннее значение равно сумме двух значений, расположенных диагонально выше, и каждая строка симметрична, потому что \(C(n, r) = C(n, n-r)\). Найдите значение на пересечении строки \(n\) и столбца \(r\).
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Заметим, что \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) (существует ровно один способ не выбрать ничего и один способ выбрать всё) и \(C(n, 1) = n\) (существует \(n\) способов выбрать один элемент).
Дополнительные решённые примеры
Каждый пример подставляет значения непосредственно в формулу сочетаний \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), где порядок не имеет значения.
-
Покерные комбинации — 52 выбрать 5. Стандартная колода содержит 52 карты, а покерная комбинация — это 5 карт, выбранных без учёта порядка:
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$что даёт 2,598,960 различных пятикарточных комбинаций.
-
Выбрать всё — 6 выбрать 6. Когда необходимо выбрать каждый элемент, существует только одна возможная группа:
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$Здесь используется соглашение, что \(0! = 1\). Таким образом, \(C(6, 6) = \) 1.
-
Не выбрать ничего — 8 выбрать 0. Существует ровно один способ не выбрать ничего из множества (пустой выбор):
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$Следовательно, \(C(8, 0) = \) 1.
-
Комитет — 10 выбрать 3. Выбор трёхчленного комитета из 10 кандидатов (должности не различаются):
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$что даёт 120 возможных комитетов. Если бы роли были различимы (председатель, секретарь, казначей), порядок имел бы значение, и вместо этого нужно было бы вычислить перестановку 720.
Основные термины и определения
- Сочетание
- Выбор элементов из большего множества, где порядок выбора не имеет значения. Количество сочетаний \(r\) элементов из \(n\) записывается как \(C(n, r)\), \(\binom{n}{r}\) или "n выбрать r".
- Перестановка
- Упорядоченное расположение элементов. Поскольку порядок имеет значение, перестановок всегда не меньше, чем сочетаний: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\). Например, \{A, B\} и \{B, A\} считаются одним сочетанием, но двумя перестановками.
- n (размер множества)
- Общее количество различных элементов, из которых можно выбирать — размер всего множества. В формуле это верхнее число \(\binom{n}{r}\).
- r (размер выборки)
- Количество элементов, которые вы выбираете из множества. Должно выполняться условие \(0 \le r \le n\). В формуле это нижнее число \(\binom{n}{r}\).
- Факториал (!)
- Произведение всех положительных целых чисел до числа: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\). По определению \(0! = 1\). Факториалы встречаются на протяжении всей формулы сочетаний. Например, \(5! = 120\).
- "Порядок не имеет значения"
- Определяющее свойство сочетаний: два выбора, содержащие одни и те же элементы, считаются идентичными независимо от последовательности, в которой они были выбраны. Именно поэтому \(C(n, r)\) делит упорядоченное количество \(P(n, r)\) на \(r!\), чтобы исключить повторяющиеся упорядочения.
nCr в разных сценариях
Одна и та же формула комбинаций, \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), используется во многих задачах повседневного подсчета. Поскольку порядок не имеет значения в комбинации, nCr отвечает на вопросы вроде «сколько отдельных групп можно составить» вместо «сколько упорядоченных последовательностей». В таблице ниже рассмотрены несколько реалистичных случаев, каждый вычисленный с помощью этого калькулятора.
| Сценарий | n (всего) | r (выбрано) | nCr | Контекст реального мира |
|---|---|---|---|---|
| Малое спаривание | 5 | 2 | 10 | Количество способов выбрать 2 товарища из 5 человек или 2 начинки из 5 вариантов. |
| Выборка комитета | 10 | 3 | 120 | Отдельные трехчленные подкомитеты, которые можно выбрать из группы из 10 человек. |
| Лотерея 6/49 | 49 | 6 | 13 983 816 | Всего возможных розыгрышей 6 чисел из 49 — вероятность совпадения всех шести на одном билете равна 1 из этого количества. |
| Покерные комбинации | 52 | 5 | 2 598 960 | Количество отдельных 5-карточных комбинаций, раздаваемых из стандартной колоды из 52 карт (без учета порядка). |
| Начинки для пиццы | 8 | 3 | 56 | Способы выбрать 3 начинки из меню из 8, где порядок выбора не имеет значения. |
Проверочный расчет для случая с покером: \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) Если бы порядок имел значение, вместо этого вы использовали бы перестановки, \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\), что дало бы намного большее количество.
