Калькулятор сочетаний с повторениями

Введите расчет

Общее число типов элементов (n):

Сколько элементов выбираем (r):

Результатов

Число сочетаний с повторениями

35

Общее число типов элементов (n)	5
Сколько элементов выбираем (r)	3

Что считает этот калькулятор

Калькулятор сочетаний с повторениями показывает, сколькими способами можно выбрать r элементов из n различных типов, если повторения разрешены, а порядок выбора не важен. Это базовая задача комбинаторики и теории вероятностей, которую часто называют методом «звёзд и палочек» (stars and bars). Поскольку каждый тип можно брать несколько раз, итоговое число получается больше, чем при обычных сочетаниях без повторений.

Сочетания с повторениями позволяют выбирать один и тот же тип элемента несколько раз.

Какие данные нужно ввести

• Общее число типов элементов (n): сколько различных категорий доступно для выбора — например, 3 сорта мороженого.
• Сколько элементов выбираем (r): сколько всего раз вы делаете выбор, причём один и тот же тип может повторяться.

Введите оба значения целыми числами — и калькулятор сразу выдаст один результат: количество различных мультимножеств (неупорядоченных наборов с допустимыми повторами).

Формула

В основе расчёта лежит стандартная формула сочетаний с повторениями:

$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$

Внутри калькулятор вычисляет три факториала — \((n + r - 1)!\), \(r!\) и \((n - 1)!\) — и выполняет деление по формуле. Расчёт ведётся точно, в целых числах, поэтому результат — это точное целое число, а не приближённая оценка.

Реклама

Метод звёзд и перегородок объясняет, почему количество равно \(C(n+r-1, r)\).

Разбор примера

Допустим, в кафе-мороженом есть n = 3 сорта, и вы хотите стаканчик с r = 2 шариками, причём сорт можно повторять. Подставляем \(n = 3\) и \(r = 2\):

• \(n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\)
• $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$$

Значит, существует 6 вариантов стаканчика с двумя шариками: AA, BB, CC, AB, AC и BC. Калькулятор мгновенно выдаёт 6.

Частые вопросы

Чем это отличается от обычных сочетаний? Обычные сочетания \(C(n, r)\) запрещают повторы — каждый элемент берётся не более одного раза. Сочетания с повторениями допускают многократный выбор одного и того же типа, поэтому используется формула \(C(n + r - 1, r)\).

Важен ли здесь порядок? Нет. Наборы AB и BA считаются одинаковыми. Если бы порядок имел значение, нужно было бы применять размещения (перестановки).

Может ли r быть больше n? Да. Так как повторения разрешены, можно выбрать больше элементов, чем есть типов — например, взять 5 шариков из 3 сортов вполне допустимо, и число вариантов при этом будет больше.