Калькулятор размещений с повторениями

Введите расчет

n (объектов)

r (выборка)

For n ≥ 0 and r ≥ 0 (integers). Each of the n objects can be chosen repeatedly and order matters.

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Empty sequence (r = 0)

   

   There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

Результатов

Permutations with Replacement P^R(n, r)

16

упорядоченных последовательностей

n (объектов)	4
r (выборка)	2
Формула	nr

Что такое размещение с повторениями?

Размещение с повторениями — это число упорядоченных последовательностей длины r, которые можно составить из множества n различных объектов, если (1) порядок элементов имеет значение и (2) каждый объект разрешено выбирать более одного раза. Представьте алфавит из n букв: размещение с повторениями длины r — это любое «слово» длины r, которое можно из этого алфавита составить. Калькулятор вычисляет это количество по формуле \(P^{R}(n, r) = n^{r}\).

При выборе с возвращением каждая упорядоченная позиция независимо может быть любым из n элементов, так как выбранное возвращается в набор.

Как пользоваться калькулятором

Введите n — количество доступных различных объектов (общее множество), и r — длину упорядоченной выборки, которую нужно составить. Оба числа должны быть целыми и неотрицательными. Нажмите «Вычислить» — и вы получите общее число возможных упорядоченных последовательностей. Поскольку результат растёт экспоненциально, очень большие значения выводятся в экспоненциальной (научной) записи.

Разбираем формулу

Каждая из r позиций в последовательности заполняется независимо, а так как повторы разрешены, на любую позицию можно поставить любое из n значений. По правилу умножения общее количество равно $$n \times n \times \ldots \times n$$ с r множителями, то есть \(n^{r}\). Это отличается от размещений без повторений, \(A(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}\), где каждый объект можно использовать не более одного раза.

Реклама

Каждая из r позиций независимо даёт n вариантов, поэтому всего n, умноженное само на себя r раз: n^r.

Разбор примера

Возьмём алфавит {a, b, c, d}, то есть n = 4. Сколько существует упорядоченных пар длины r = 2? $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd. Для более длинной строки $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1\,099\,511\,627\,776 \approx 1{,}0995 \times 10^{12}.$$

Частые вопросы

Что будет при r = 0? \(n^{0} = 1\) при любом n — существует ровно одна пустая последовательность. По соглашению этот калькулятор также считает, что \(0^{0} = 1\).

А если n = 0 и r > 0? \(0^{r} = 0\): когда выбирать не из чего, непустых последовательностей не существует.

Когда брать эту формулу вместо сочетаний? Используйте размещения с повторениями, когда порядок важен и повторы разрешены — например, для PIN-кодов, последовательностей бросков кубика или строк символов. Сочетания применяйте, когда порядок не имеет значения.