可重複排列計算機

輸入計算

n（物件數）

r（樣本長度）

For n ≥ 0 and r ≥ 0 (integers). Each of the n objects can be chosen repeatedly and order matters.

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Empty sequence (r = 0)

   

   There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

結果

Permutations with Replacement P^R(n, r)

16

種有序序列

n（物件數）	4
r（樣本長度）	2
公式	nr

什麼是可重複排列？

可重複排列（permutation with replacement）計算的是：當（1）順序有差別、且（2）每個物件可以被重複選取時，從 n 個相異物件中能組成多少種長度為 r 的有序序列。可以把它想像成一組有 n 個字母的「字母表」——長度 r 的可重複排列，就是用這組字母所能拼出的任何一個長度為 r 的「字」。本計算機採用公式 \(P^{R}(n, r) = n^{r}\) 來算出這個數量。

有放回時，由於取出的項會放回池中，每個有序位置都可獨立地是 n 個項中的任意一個。

計算機怎麼用

請輸入 n（可供選取的相異物件數量，即母體）以及 r（你想組成的有序樣本長度）。兩者都必須是非負整數。按下計算後，就能得到所有可能有序序列的總數。由於結果會呈指數成長，數值極大時將以科學記號顯示。

公式解析

序列中的 r 個位置各自獨立填入，而由於允許重複，每個位置都能放入 n 個值中的任何一個。根據乘法原理，總數為 \(n \times n \times \ldots \times n\) 共 r 個因式相乘，也就是 \(n^{r}\)。這與「不可重複排列」\(P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}\) 不同——後者每個物件最多只能用一次。

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r 個位置中的每一個都獨立提供 n 種選擇，因此總數是 n 自乘 r 次：n^r。

實例演練

假設字母表為 {a, b, c, d}，則 \(n = 4\)。長度 \(r = 2\) 的有序組合共有幾種？$$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$aa、ab、ac、ad、ba、bb、…、dd。若是更長的字串，則 $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{,}099{,}511{,}627{,}776 \approx 1.0995 \times 10^{12}.$$

常見問題

當 r = 0 時會怎樣？對任何 n 而言，\(n^{0} = 1\)——也就是恰好存在一個空序列。依慣例，本計算機也將 \(0^{0}\) 視為 1。

若 n = 0 且 r > 0 呢？\(0^{r} = 0\)：沒有任何物件可供選取，自然也組不出任何非空序列。

什麼時候該用它、而不是用組合？當順序有差別且允許重複時，就使用可重複排列，例如 PIN 密碼、骰子的擲出順序，或字元字串等。若順序沒有差別，則改用組合。