Máy tính Chỉnh hợp lặp

Nhập phép tính

n (đối tượng)

r (mẫu)

For n ≥ 0 and r ≥ 0 (integers). Each of the n objects can be chosen repeatedly and order matters.

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Empty sequence (r = 0)

   

   There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

Kết quả

Permutations with Replacement P^R(n, r)

16

chuỗi có thứ tự

n (đối tượng)	4
r (mẫu)	2
Công thức	nr

Chỉnh hợp lặp là gì?

Chỉnh hợp lặp đếm số chuỗi có thứ tự độ dài r mà bạn có thể tạo ra từ một tập gồm n đối tượng phân biệt khi (1) thứ tự của các phần tử có ý nghĩa và (2) mỗi đối tượng có thể được chọn nhiều lần. Hãy hình dung một bảng chữ cái gồm n chữ; một chỉnh hợp lặp độ dài r chính là bất kỳ "từ" nào dài r ký tự mà bạn ghép được từ bảng chữ cái đó. Công cụ này trả về kết quả đếm theo công thức $$P^{R}(n, r) = n^{r}.$$

Khi có hoàn lại, mỗi vị trí có thứ tự đều có thể là bất kỳ trong n phần tử một cách độc lập, vì các lần chọn được trả lại vào tập.

Cách dùng máy tính

Nhập n — số đối tượng phân biệt sẵn có (tập gốc), và r — độ dài của mẫu có thứ tự mà bạn muốn tạo. Cả hai phải là số nguyên không âm. Bấm tính và bạn sẽ nhận được tổng số chuỗi có thứ tự khả dĩ. Vì con số này tăng theo cấp số mũ, những kết quả rất lớn sẽ được hiển thị dưới dạng ký hiệu khoa học.

Giải thích công thức

Mỗi vị trí trong số r vị trí của chuỗi được điền một cách độc lập, và do được phép lặp lại nên mỗi vị trí đều có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong n giá trị. Theo quy tắc nhân, tổng số khả năng là \(n \times n \times \ldots \times n\) với r thừa số, bằng \(n^{r}\). Điều này khác với chỉnh hợp không lặp, \(P(n, r) = n! / (n - r)!\), ở đó mỗi đối tượng chỉ được dùng tối đa một lần.

Quảng cáo

Mỗi trong r vị trí độc lập có n lựa chọn, nên tổng số là n nhân với chính nó r lần: n^r.

Ví dụ minh họa

Với bảng chữ cái {a, b, c, d}, ta có \(n = 4\). Có bao nhiêu cặp có thứ tự độ dài \(r = 2\)? $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd. Với một chuỗi dài hơn, $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1.099.511.627.776 \approx 1{,}0995 \times 10^{12}.$$

Câu hỏi thường gặp

Điều gì xảy ra khi r = 0? \(n^{0} = 1\) với mọi n — chỉ có đúng một chuỗi rỗng. Theo quy ước, máy tính này cũng coi \(0^{0}\) bằng 1.

Nếu n = 0 và r > 0 thì sao? \(0^{r} = 0\): khi không có đối tượng nào để chọn thì không tồn tại chuỗi khác rỗng nào.

Khi nào nên dùng cái này thay vì tổ hợp? Hãy dùng chỉnh hợp lặp khi thứ tự quan trọng và được phép lặp lại, chẳng hạn mã PIN, chuỗi kết quả tung xúc xắc, hay chuỗi ký tự. Dùng tổ hợp khi thứ tự không quan trọng.