पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

n (वस्तुएँ)

r (नमूना)

For n ≥ 0 and r ≥ 0 (integers). Each of the n objects can be chosen repeatedly and order matters.

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Empty sequence (r = 0)

   

   There is exactly one ordered sequence of length zero, by convention, for any n (including 0^0 = 1).

परिणाम

Permutations with Replacement P^R(n, r)

16

क्रमबद्ध अनुक्रम

n (वस्तुएँ)	4
r (नमूना)	2
सूत्र	nr

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय क्या है?

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय यह गिनता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह से r लंबाई के कितने क्रमबद्ध अनुक्रम बनाए जा सकते हैं, जब (1) वस्तुओं का क्रम मायने रखता हो और (2) हर वस्तु को एक से अधिक बार चुना जा सके। इसे ऐसे समझें कि आपके पास n अक्षरों की एक वर्णमाला है; r लंबाई का पुनरावृत्ति-सहित क्रमचय उसी वर्णमाला से बनने वाला r लंबाई का कोई भी "शब्द" है। यह कैलकुलेटर इस गिनती को सूत्र $$P^{R}(n, r) = n^{r}$$ से निकालता है।

प्रतिस्थापन के साथ, हर क्रमित स्थान स्वतंत्र रूप से n वस्तुओं में से कोई भी हो सकता है, क्योंकि चुनी गई वस्तुएँ वापस समूह में डाल दी जाती हैं।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

n दर्ज करें, यानी उपलब्ध अलग-अलग वस्तुओं की संख्या (समष्टि), और r दर्ज करें, यानी जिस क्रमबद्ध नमूने को आप बनाना चाहते हैं उसकी लंबाई। दोनों ही ऋणेतर पूर्णांक होने चाहिए। "गणना करें" दबाते ही आपको संभव क्रमबद्ध अनुक्रमों की कुल संख्या मिल जाती है। चूँकि यह गिनती तेज़ी से (घातांकीय रूप से) बढ़ती है, इसलिए बहुत बड़े उत्तर वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) में दिखाए जाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

अनुक्रम की r में से हर एक जगह को स्वतंत्र रूप से भरा जाता है, और चूँकि पुनरावृत्ति की अनुमति है, इसलिए हर जगह पर n में से कोई भी मान आ सकता है। गुणन नियम के अनुसार कुल संख्या \(n \times n \times \ldots \times n\) होती है जिसमें r गुणनखंड होते हैं, और यह \(n^{r}\) के बराबर है। यह बिना पुनरावृत्ति वाले क्रमचय \(P(n, r) = n! / (n - r)!\) से अलग है, जहाँ हर वस्तु को अधिक से अधिक एक ही बार इस्तेमाल किया जा सकता है।

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r स्थानों में से हर एक स्वतंत्र रूप से n विकल्प देता है, इसलिए कुल n को खुद से r बार गुणा करने पर: n^r।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें वर्णमाला {a, b, c, d} है, तो n = 4 है। r = 2 लंबाई के कितने क्रमबद्ध युग्म बन सकते हैं? $$P^{R}(4, 2) = 4^{2} = 16$$ aa, ab, ac, ad, ba, bb, ... , dd। किसी लंबी स्ट्रिंग के लिए, $$P^{R}(4, 20) = 4^{20} = 1{,}099{,}511{,}627{,}776 \approx 1.0995 \times 10^{12}.$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

जब r = 0 हो तो क्या होता है? किसी भी n के लिए \(n^{0} = 1\) होता है — ठीक एक खाली अनुक्रम मौजूद होता है। परंपरा के अनुसार यह कैलकुलेटर \(0^{0}\) को भी 1 मानता है।

अगर n = 0 और r > 0 हो तो? \(0^{r} = 0\): जब चुनने के लिए कोई वस्तु ही नहीं है, तो कोई गैर-खाली अनुक्रम संभव नहीं है।

संचय (combinations) की जगह इसका उपयोग कब करें? पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय तब इस्तेमाल करें जब क्रम मायने रखता हो और दोहराव की अनुमति हो, जैसे PIN कोड, पासे फेंकने के अनुक्रम, या अक्षरों की स्ट्रिंग। जब क्रम मायने न रखे तब संचय (combinations) का उपयोग करें।