मल्टीफैक्टोरियल कैलकुलेटर

विस्तार	10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3840

मल्टीफैक्टोरियल क्या होता है?

मल्टीफैक्टोरियल साधारण फैक्टोरियल का ही एक विस्तृत रूप है, जिसमें गुणनफल के पदों के बीच का अंतर (स्टेप) बदल दिया जाता है। जब इसे k विस्मयादिबोधक चिह्नों (!) के साथ लिखा जाता है, तो किसी ग़ैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n$ का $k$-मल्टीफैक्टोरियल $n$ को ऐसे क्रमिक पदों से गुणा करता है जो हर बार $k$ से घटते जाते हैं, और यह तब तक चलता है जब तक पद कम-से-कम 1 बना रहे। एक विस्मयादिबोधक चिह्न से आपको जाना-पहचाना फैक्टोरियल $n!$ मिलता है; दो चिह्नों से डबल फैक्टोरियल $n!!$ मिलता है; तीन, चार और पाँच चिह्नों से क्रमशः ट्रिपल, क्वाड्रपल और क्विंटपल फैक्टोरियल बनते हैं।

फैक्टोरियल, डबल फैक्टोरियल और ट्रिपल फैक्टोरियल के विस्तार की तुलना घटती हुई सीढ़ियों के रूप में — हर मल्टीफैक्टोरियल अलग मात्रा $k$ से घटता है: $n!$ के लिए 1, $n!!$ के लिए 2, $n!!!$ के लिए 3.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

"Calculate" ड्रॉपडाउन से वह मल्टीफैक्टोरियल चुनें जो आपको चाहिए (इससे स्टेप साइज़ $k$, 1 से 5 तक, तय हो जाता है), फिर एक पूर्ण संख्या $n$ दर्ज करें जो शून्य या उससे बड़ी हो, और सटीक उत्तर पढ़ें। चूँकि ये मान बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए कैलकुलेटर असीमित-परिशुद्धता (BigInteger) गणित का इस्तेमाल करता है, ताकि बड़े-से-बड़े इनपुट पर भी आपको गोल किया हुआ अनुमान नहीं, बल्कि बिल्कुल सटीक पूर्णांक मिले। परिणाम पैनल यह भी दिखाता है कि उत्तर में कितने अंक हैं और उसका पूरा गुणन-विस्तार क्या है।

सूत्र की व्याख्या

स्टेप साइज़ $k$ के लिए नियम है: $$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$ इसी को इस तरह भी कह सकते हैं कि यह $n$ से बड़े नहीं होने वाले उन सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है जो $k$ से भाग देने पर $n$ के समान शेषफल देते हैं (अर्थात् $n$ के सर्वांगसम हों)। एल्गोरिथम बहुत सरल है: 1 से शुरू करें, फिर $\text{term} = n,\ n-k,\ n-2k,\ \ldots$ से तब तक गुणा करते जाएँ जब तक पद कम-से-कम 1 हो।

सामान्य मल्टीफैक्टोरियल सूत्र को चरण k से घटते गुणित पदों की श्रृंखला के रूप में दर्शाया गया — $k$-वाँ मल्टीफैक्टोरियल $k$ से घटते हुए पदों को 1 या $k$ तक पहुँचने तक गुणा करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

10 के डबल फैक्टोरियल ($k = 2$) के लिए: $$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3{,}840$$ ध्यान दें कि यह $(10!)!$ जैसा नहीं है, जो इससे कहीं ज़्यादा विशाल संख्या होगी। डबल फैक्टोरियल तो बस स्टेप 2 वाला एक ही गुणनफल है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या $n!!$ और $(n!)!$ एक ही चीज़ हैं? नहीं। डबल फैक्टोरियल स्टेप 2 वाला एक अकेला गुणनफल है; यह फैक्टोरियल को दो बार लगाना नहीं है। यही सावधानी सभी मल्टीफैक्टोरियल पर लागू होती है।

$0!$ का मान क्या है? रिक्त-गुणनफल (empty product) की परिपाटी के अनुसार, किसी भी मल्टीफैक्टोरियल में 0 का मान 1 होता है, ठीक वैसे ही जैसे $0! = 1$।

उत्तर इतना लंबा क्यों होता है? फैक्टोरियल और इससे जुड़ी संख्याएँ चरघातांकीय (exponential) से भी तेज़ बढ़ती हैं, इसलिए छोटे-से इनपुट से भी सैकड़ों या हज़ारों अंकों वाली संख्याएँ बन सकती हैं। यह टूल हर अंक को बिल्कुल सटीक रखता है।