ما هو المضروب المتعدد؟
المضروب المتعدد هو تعميم للمضروب العادي عن طريق تغيير مقدار الخطوة بين العوامل في حاصل الضرب. يُكتب باستخدام k من علامات التعجب، فالمضروب المتعدد من الدرجة k لعدد صحيح غير سالب n هو ضرب n في حدود متتابعة ينقص كل منها بمقدار k، ويستمر ذلك ما دام الحد لا يقل عن 1. فبعلامة تعجب واحدة تحصل على المضروب المألوف \(n!\)، وبعلامتين على المضروب المزدوج \(n!!\)، وبثلاث وأربع وخمس علامات تحصل على المضروب الثلاثي والرباعي والخماسي على التوالي.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
اختر نوع المضروب المتعدد الذي تريده من قائمة "احسب" المنسدلة (يحدد هذا مقدار الخطوة \(k\) من 1 إلى 5)، ثم أدخل عددًا صحيحًا \(n\) يساوي صفرًا أو أكبر، واقرأ النتيجة الدقيقة. ولأن هذه القيم تنمو بسرعة هائلة، تعتمد الحاسبة على حسابات بدقة عشوائية (BigInteger)، بحيث تُرجع حتى المدخلات الكبيرة عددًا صحيحًا دقيقًا بدلًا من تقريب مُدوَّر. كما تعرض لوحة النتيجة عدد الأرقام التي تحتويها الإجابة إضافة إلى التفكيك الكامل لعملية الضرب.
شرح الصيغة
بالنسبة لمقدار الخطوة \(k\)، تكون القاعدة:
$$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$وبصيغة مكافئة، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تتجاوز n والتي تكون مطابقة لـ n بقياس k (modulo k):
$$n!^{(k)} = \prod_{i \ge 0,\; n - ik \ge 1} (n - ik)$$أما الخوارزمية فبسيطة: ابدأ بالعدد 1، ثم اضرب في الحد \(= n\)، ثم \(n-k\)، ثم \(n-2k\)، ... ما دام الحد لا يقل عن 1.
مثال محلول
لحساب المضروب المزدوج (\(k = 2\)) للعدد 10:
$$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3{,}840$$لاحظ أن هذا لا يساوي \((10!)!\)، التي ستكون أكبر بكثير بشكل فلكي. فالمضروب المزدوج هو حاصل ضرب واحد بخطوة مقدارها 2.
الأسئلة الشائعة
هل \(n!!\) هو نفسه \((n!)!\)؟ لا. المضروب المزدوج هو حاصل ضرب واحد بخطوة مقدارها 2؛ وليس تطبيق المضروب مرتين. وينطبق التنبيه نفسه على جميع المضاريب المتعددة.
ما قيمة \(0!\)؟ بحسب اصطلاح حاصل الضرب الفارغ، فإن أي مضروب متعدد للعدد 0 يساوي 1، تمامًا مثل \(0! = 1\).
لماذا تكون الإجابة طويلة جدًا؟ ينمو المضروب وما يشبهه أسرع من الدوال الأسية، لذا حتى المدخلات المتواضعة قد تنتج أعدادًا تتألف من مئات أو آلاف الأرقام. تحافظ هذه الأداة على كل رقم بدقة تامة.
