Qu'est-ce qu'une multifactorielle ?
La multifactorielle généralise la factorielle classique en modifiant le pas entre les facteurs du produit. Notée avec k points d'exclamation, la k-multifactorielle d'un entier positif n multiplie n par des termes successifs qui diminuent chacun de k, tant que le terme reste supérieur ou égal à 1. Avec un seul point d'exclamation, on retrouve la factorielle habituelle \(n!\) ; deux points donnent la double factorielle \(n!!\) ; trois, quatre et cinq points correspondent respectivement à la triple, la quadruple et la quintuple factorielle.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez la multifactorielle souhaitée dans le menu déroulant « Calculer » (cela définit le pas k de 1 à 5), saisissez un entier n égal ou supérieur à zéro, puis lisez le résultat exact. Comme ces valeurs croissent extrêmement vite, le calculateur s'appuie sur une arithmétique à précision arbitraire (BigInteger) : même les grandes entrées renvoient un entier exact plutôt qu'une approximation arrondie. Le panneau de résultat indique également le nombre de chiffres de la réponse ainsi que le développement complet du produit.
La formule expliquée
Pour un pas k, la règle s'écrit $$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$ Autrement dit, il s'agit du produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n qui sont congrus à n modulo k. L'algorithme est simple : on part de 1, puis on multiplie par chaque terme \(= n, n-k, n-2k, \ldots\) tant que le terme est au moins égal à 1.
Exemple détaillé
Pour la double factorielle (k = 2) de 10 : $$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3\,840.$$ Attention, ce n'est pas la même chose que \((10!)!\), qui serait astronomiquement plus grand. Une double factorielle est un seul produit avec un pas de 2.
FAQ
n!! est-il identique à (n!)! ? Non. La double factorielle est un seul produit avec un pas de 2 ; ce n'est pas la factorielle appliquée deux fois. La même mise en garde vaut pour toutes les multifactorielles.
Que vaut 0! ? Par convention du produit vide, la multifactorielle de 0, quel que soit le pas, est égale à 1, tout comme \(0! = 1\).
Pourquoi le résultat est-il aussi long ? Les factorielles et leurs variantes croissent plus vite que les exponentielles : même des entrées modestes peuvent produire des nombres de plusieurs centaines, voire milliers de chiffres. Cet outil conserve chaque chiffre de façon exacte.
