Qu'est-ce que la fonction polygamma ?
La fonction polygamma d'ordre n, notée \(\psi^{(n)}(a)\), est la dérivée d'ordre (n+1) du logarithme naturel de la fonction gamma. Avec l'indexation adoptée ici, \(n = -1\) renvoie la fonction log-gamma \(\ln\Gamma(a)\) elle-même, \(n = 0\) donne la fonction digamma \(\psi(a)\), \(n = 1\) la fonction trigamma, \(n = 2\) la tétragamma, et ainsi de suite. Ces fonctions spéciales interviennent partout en probabilités, en statistique (estimation du maximum de vraisemblance pour les lois gamma et bêta), en théorie des nombres et en analyse asymptotique. Il s'agit de mathématiques pures, qui s'appliquent rigoureusement de la même façon partout.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez l'ordre de dérivation n dans le menu déroulant (-1, 0, 1, 2, 3 ou 4) et saisissez l'argument a sous forme de nombre réel. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir \(\psi^{(n)}(a)\) avec environ 12 chiffres significatifs. Le calcul est pleinement valable pour \(a > 0\) ; pour a inférieur ou égal à 0, les fonctions nécessitent une formule de réflexion, et le calculateur signale les entiers négatifs ou nuls (les pôles de la fonction gamma) comme non définis.
La formule expliquée
$$\psi^{(n)}(a) = \frac{d^{n+1}}{da^{n+1}} \ln\Gamma\!\left(a\right), \quad n = \text{order}$$Pour \(n = -1\), la valeur est calculée à l'aide de l'approximation de Lanczos pour \(\ln\Gamma\). Pour \(n = 0\), le digamma s'obtient par la relation de récurrence \(\psi(x) = \psi(x+1) - 1/x\) afin de ramener l'argument au-dessus de 6, suivie du développement asymptotique \(\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12 x^2} + \cdots\). Pour \(n \geq 1\), la récurrence \(\psi^{(n)}(x) = \psi^{(n)}(x+1) + (-1)^{n+1} \frac{n!}{x^{n+1}}\) décale l'argument au-delà de 10, puis un développement asymptotique fondé sur les nombres de Bernoulli achève l'évaluation.
Exemple résolu
Prenons \(n = 1\), \(a = 5\) (le trigamma en 5). En utilisant l'identité \(\psi_1(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\), on obtient $$1{,}6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1{,}6449340668 - 1{,}4236111111 = 0{,}2213229557.$$ Le calculateur renvoie environ \(0{,}221322955737\).
FAQ
Pourquoi a = 0 ou un entier négatif n'est-il pas défini ? La fonction gamma possède des pôles en \(0, -1, -2, \ldots\), si bien que \(\ln\Gamma\) et toutes les fonctions polygamma y divergent.
Quelle est la différence entre digamma et trigamma ? Le digamma (\(n = 0\)) est la dérivée première de \(\ln\Gamma\) ; le trigamma (\(n = 1\)) en est la dérivée seconde, égale à la dérivée du digamma.
Quelle est la précision du résultat ? L'arithmétique en double précision, combinée à la méthode de décalage et de développement asymptotique, fournit environ 12 à 15 chiffres significatifs corrects pour \(a > 0\).
