Hàm polygamma là gì?
Hàm polygamma bậc n, ký hiệu \(\psi_n(a)\), chính là đạo hàm bậc (n+1) của logarit tự nhiên của hàm gamma. Với cách đánh chỉ số dùng ở đây, \(n = -1\) cho ra hàm log-gamma \(\ln\Gamma(a)\), \(n = 0\) cho ra hàm digamma \(\psi(a)\), \(n = 1\) là hàm trigamma, \(n = 2\) là tetragamma, và cứ thế tiếp tục. Các hàm đặc biệt này xuất hiện khắp nơi trong lý thuyết xác suất, thống kê (ước lượng hợp lý cực đại cho phân phối gamma và beta), lý thuyết số và giải tích tiệm cận. Đây là toán học thuần túy nên áp dụng giống hệt nhau ở mọi quốc gia.
Cách dùng máy tính này
Bạn chọn bậc đạo hàm n từ danh sách thả xuống (-1, 0, 1, 2, 3 hoặc 4) rồi nhập đối số a là một số thực. Nhấn tính để nhận \(\psi_n(a)\) với độ chính xác khoảng 12 chữ số có nghĩa. Công thức tính hoàn toàn đúng khi \(a > 0\); với a nhỏ hơn hoặc bằng 0, các hàm này cần đến công thức phản xạ, và máy tính sẽ báo các số nguyên không dương (những điểm cực của hàm gamma) là không xác định.
Giải thích công thức
Với \(n = -1\), giá trị được tính bằng xấp xỉ Lanczos cho \(\ln\Gamma\). Với \(n = 0\), hàm digamma được tìm qua hệ thức truy hồi \(\psi(x) = \psi(x+1) - \frac{1}{x}\) để đẩy đối số lên trên 6, sau đó dùng chuỗi tiệm cận $$\psi(x) \sim \ln x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \cdots$$ Với \(n \geq 1\), hệ thức truy hồi $$\psi_n(x) = \psi_n(x+1) + (-1)^{n+1}\,\frac{n!}{x^{n+1}}$$ dịch đối số vượt qua 10, rồi một chuỗi tiệm cận dựa trên số Bernoulli hoàn tất việc tính toán.
Ví dụ minh họa
Lấy \(n = 1\), \(a = 5\) (trigamma tại 5). Dùng đồng nhất thức \(\psi_1(m) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2}\), ta có $$1.6449340668 - \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right) = 1.6449340668 - 1.4236111111 = 0.2213229557.$$ Máy tính trả về khoảng \(0.221322955737\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao \(a = 0\) hay số nguyên âm lại không xác định? Hàm gamma có các điểm cực tại \(0, -1, -2, \ldots\), nên \(\ln\Gamma\) và mọi hàm polygamma đều phân kỳ tại đó.
Digamma và trigamma khác nhau ở chỗ nào? Digamma (\(n = 0\)) là đạo hàm bậc nhất của \(\ln\Gamma\); trigamma (\(n = 1\)) là đạo hàm bậc hai, bằng đạo hàm của digamma.
Kết quả chính xác đến mức nào? Với số học độ chính xác kép cùng phương pháp dịch chuyển kết hợp chuỗi tiệm cận, máy cho khoảng 12-15 chữ số có nghĩa chính xác khi \(a > 0\).
