Hàm Gamma là gì?
Hàm Gamma, ký hiệu \(\Gamma(\text{z})\), chính là sự mở rộng liên tục của phép tính giai thừa. Với mọi số nguyên dương n, ta có \(\Gamma(n) = (n - 1)!\), chẳng hạn \(\Gamma(5) = 4! = 24\). Khác với giai thừa thông thường, hàm Gamma được xác định cho mọi số thực và số phức, ngoại trừ các số nguyên không dương (0, −1, −2, …) — đó là những điểm cực mà hàm số không tồn tại. Hàm Gamma xuất hiện ở khắp nơi trong toán học, thống kê (các phân phối gamma, beta và chi bình phương), vật lý và tổ hợp.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập một giá trị z bất kỳ — có thể là số nguyên, phân số, hoặc số âm không phải số nguyên — và máy tính sẽ trả về kết quả \(\Gamma(\text{z})\). Ví dụ, \(\Gamma(0.5) = \sqrt{\pi} \approx 1{,}772454\), còn \(\Gamma(2.5) \approx 1{,}329340\). Lưu ý đừng nhập 0 hay các số nguyên âm, vì tại đó hàm số không được xác định.
Giải thích công thức
Công cụ này dùng phép xấp xỉ Lanczos — một chuỗi tính toán nhanh và độ chính xác rất cao, với hằng số \(g = 7\) và chín hệ số được tính sẵn. Đẳng thức cốt lõi là $$\Gamma(\text{z}) = \sqrt{2\pi}\cdot\left(\text{z} + g + \tfrac{1}{2}\right)^{\text{z} + \frac{1}{2}}\cdot e^{-\left(\text{z} + g + \frac{1}{2}\right)}\cdot A_g(\text{z}),$$ trong đó \(A_g(\text{z})\) là tổng các hệ số có trọng số. Với trường hợp \(\text{z} < 0{,}5\), máy tính sẽ áp dụng trước công thức phản xạ $$\Gamma(\text{z})\,\Gamma(1 - \text{z}) = \frac{\pi}{\sin(\pi\text{z})},$$ nhờ đó tính chính xác được các đối số nhỏ và âm.
Ví dụ minh họa
Để tìm \(\Gamma(5)\): vì 5 là số nguyên dương nên $$\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.$$ Phép xấp xỉ Lanczos cho kết quả 24,0000 (trong sai số làm tròn), đúng như mối liên hệ với giai thừa.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao không thể tính \(\Gamma(0)\) hay \(\Gamma(-2)\)? Hàm Gamma có điểm cực tại mọi số nguyên không dương, nên tại đó giá trị tăng vô hạn và không được xác định.
Kết quả chính xác đến mức nào? Phép xấp xỉ Lanczos với \(g = 7\) đạt độ chính xác khoảng 15 chữ số có nghĩa với các đầu vào thông thường — vượt xa số chữ số hiển thị trên màn hình.
\(\Gamma(\text{z})\) có giống giai thừa không? Chúng có liên hệ chặt chẽ: \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) với số nguyên dương n. Hàm Gamma tổng quát hóa giai thừa cho cả đối số không nguyên và đối số âm.
