Hàm Airy là gì?
Hàm Airy Ai(x) và Bi(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân Airy \(y'' = x\cdot y\) (tương đương \(y'' - x\cdot y = 0\)). Chúng xuất hiện rất nhiều trong vật lý và toán học ứng dụng: gần các điểm rẽ cổ điển trong cơ học lượng tử (bài toán ghép nối WKB), trong mô tả caustic và hiện tượng cầu vồng trong quang học, cũng như trong phân tích tiệm cận. Ai(x) là nghiệm suy giảm khi x lớn và dương, trong khi Bi(x) tăng theo hàm mũ trong cùng giới hạn đó. Với x âm, cả hai hàm đều dao động và suy giảm chậm theo \(|x|^{-1/4}\).
Cách sử dụng máy tính
Nhập một giá trị thực hữu hạn bất kỳ của x (dương, âm hoặc bằng không) rồi đọc kết quả Ai(x) và Bi(x). Giá trị mặc định x = 1.0 được cung cấp làm điểm khởi đầu. Không có đơn vị nào ở đây — x là một số thực không thứ nguyên thuần túy.
Giải thích công thức
Với |x| ở mức vừa phải, máy tính dùng chuỗi lũy thừa hội tụ ở mọi nơi. Hai chuỗi f(x) và g(x) được tính tổng bằng một công thức truy hồi ổn định:
$$f(x)=\sum_{k\ge0}\frac{3^k(1/3)_k}{(3k)!}x^{3k},\quad g(x)=\sum_{k\ge0}\frac{3^k(2/3)_k}{(3k+1)!}x^{3k+1}$$với f, \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1} \times x^3 / ((3k-1)(3k))\) bắt đầu từ 1; với g, \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1} \times x^3 / ((3k)(3k+1))\) bắt đầu từ x. Khi đó
$$\text{Ai}(x) = c_1 f(x) - c_2 g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\bigl(c_1 f(x) + c_2 g(x)\bigr)$$với \(c_1 = \text{Ai}(0) = 0.3550280539\) và \(c_2 = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038\). Khi |x| vượt quá khoảng 8, mã sẽ chuyển sang khai triển tiệm cận để tránh sai số do triệt tiêu.
Ví dụ minh họa (x = 1)
\(f(1) \approx 1.1722994\) và \(g(1) \approx 1.0853395\). Vậy
$$\text{Ai}(1) = 0.3550280539\times1.1722994 - 0.2588194038\times1.0853395 \approx 0.1352924$$và
$$\text{Bi}(1) = \sqrt{3}\times(0.4161680 + 0.2808727) \approx 1.2074236$$Các giá trị này khớp với các giá trị tham chiếu chuẩn.
Câu hỏi thường gặp
Ai(0) và Bi(0) bằng bao nhiêu? \(\text{Ai}(0) = 0.3550280539\) và \(\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\times\text{Ai}(0) = 0.6149266274\), là các biểu thức đóng chính xác.
Tại sao Bi(x) lại tăng vọt? Bi(x) tăng theo \(\exp((2/3)x^{3/2})\) khi x dương lớn và sẽ tràn số (overflow) đối với số thực độ chính xác kép (double) khi \(x \approx 100\); đây là hành vi bình thường, không phải lỗi.
Tôi có thể dùng x âm không? Có. Với x âm lớn, các hàm sẽ dao động, và máy tính sử dụng các dạng tiệm cận dao động để đảm bảo độ chính xác.
