एयरी फ़ंक्शन क्या हैं?
एयरी फ़ंक्शन Ai(x) और Bi(x), एयरी अवकल समीकरण \(y'' = x\cdot y\) (यानी \(y'' - x\cdot y = 0\)) के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हल हैं। ये भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में जगह-जगह दिखाई देते हैं: क्वांटम यांत्रिकी में classical turning points के पास (WKB connection समस्या में), प्रकाशिकी में caustics और इंद्रधनुष के वर्णन में, और asymptotic विश्लेषण में। Ai(x) वह हल है जो x के बड़े और धनात्मक होने पर क्षय होता जाता है, जबकि Bi(x) उसी सीमा में चरघातांकी (exponential) रूप से बढ़ता है। ऋणात्मक x के लिए दोनों दोलन (oscillate) करते हैं और \(|x|^{-1/4}\) की दर से धीरे-धीरे घटते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
x का कोई भी परिमित वास्तविक मान (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य) दर्ज करें और Ai(x) तथा Bi(x) के मान देखें। शुरुआत के लिए डिफ़ॉल्ट मान x = 1.0 दिया गया है। यहाँ कोई इकाई नहीं है — x एक शुद्ध, विमारहित (dimensionless) वास्तविक संख्या है।
सूत्र की व्याख्या
जब |x| मध्यम स्तर का हो, तो कैलकुलेटर हर जगह अभिसरण करने वाली घात श्रेणी (power series) का उपयोग करता है। दो श्रेणियाँ f(x) और g(x) को एक स्थिर पुनरावृत्ति (recurrence) के ज़रिए जोड़ा जाता है:
$$f(x)=\sum_{k\ge0}\frac{3^k(1/3)_k}{(3k)!}x^{3k},\quad g(x)=\sum_{k\ge0}\frac{3^k(2/3)_k}{(3k+1)!}x^{3k+1}$$f के लिए, \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1} \times x^3 / ((3k-1)(3k))\), जिसकी शुरुआत 1 से होती है; g के लिए, \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1} \times x^3 / ((3k)(3k+1))\), जिसकी शुरुआत x से होती है। इसके बाद
$$\text{Ai}(x) = c_1 f(x) - c_2 g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\bigl(c_1 f(x) + c_2 g(x)\bigr)$$जहाँ \(c_1 = \text{Ai}(0) = 0.3550280539\) और \(c_2 = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038\) हैं। जब |x| लगभग 8 से ज़्यादा हो जाता है, तो cancellation error से बचने के लिए कोड asymptotic विस्तार पर स्विच कर देता है।
हल किया हुआ उदाहरण (x = 1)
\(f(1) \approx 1.1722994\) और \(g(1) \approx 1.0853395\)। इसलिए $$\text{Ai}(1) = 0.3550280539\times1.1722994 - 0.2588194038\times1.0853395 \approx 0.1352924,$$ और $$\text{Bi}(1) = \sqrt{3}\times(0.4161680 + 0.2808727) \approx 1.2074236.$$ ये मान मानक संदर्भ मानों से मेल खाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
Ai(0) और Bi(0) क्या हैं? \(\text{Ai}(0) = 0.3550280539\) और \(\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\times\text{Ai}(0) = 0.6149266274\) — ये सटीक बंद-रूप (closed form) मान हैं।
Bi(x) इतना तेज़ी से क्यों बढ़ता है? बड़े धनात्मक x के लिए Bi(x), \(\exp((2/3)x^{3/2})\) की दर से बढ़ता है और \(x \approx 100\) के आसपास double precision संख्या की सीमा पार कर (overflow) जाता है; यह अपेक्षित व्यवहार है, कोई त्रुटि नहीं।
क्या मैं ऋणात्मक x का उपयोग कर सकता हूँ? हाँ। बड़े ऋणात्मक x के लिए ये फ़ंक्शन दोलन करते हैं, और सटीकता के लिए कैलकुलेटर oscillatory asymptotic रूपों का उपयोग करता है।
