エアリー関数とは
エアリー関数 Ai(x) と Bi(x) は、エアリーの微分方程式 \(y'' = x\cdot y\)（すなわち \(y'' - x\cdot y = 0\)）の一次独立な 2 つの解です。物理学や応用数学の至るところに登場し、量子力学における古典的転回点付近の解析（WKB 接続問題）、光学における火線（コースティクス）や虹の記述、漸近解析などで用いられます。Ai(x) は x が正の方向に大きくなるにつれて減衰する解であり、一方の Bi(x) は同じ極限で指数関数的に発散します。x が負の領域では、いずれも振動しながら \(|x|^{-1/4}\) の割合でゆるやかに減衰します。
この計算機の使い方
有限の実数 x（正・負・ゼロのいずれでも可）を入力すると、Ai(x) と Bi(x) の値が表示されます。初期値として x = 1.0 を用意していますので、まずはそこから試してみてください。単位はありません ― x は無次元の純粋な実数です。
計算式の解説
|x| が中程度の範囲では、全域で収束するべき級数を用います。2 つの級数 f(x) と g(x) を安定な漸化式で総和します。f については、初項を 1 として \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1} \times x^3 / ((3k-1)(3k))\) で項を進めます。g については、初項を x として \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1} \times x^3 / ((3k)(3k+1))\) で項を進めます。これを用いて $$\text{Ai}(x) = c_1 f(x) - c_2 g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\bigl(c_1 f(x) + c_2 g(x)\bigr)$$ と求めます。ここで \(c_1 = \text{Ai}(0) = 0.3550280539\)、\(c_2 = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038\) です。|x| が概ね 8 を超える場合は、桁落ち（相殺誤差）を避けるため漸近展開に切り替えて計算します。
計算例（x = 1）
\(f(1) \approx 1.1722994\)、\(g(1) \approx 1.0853395\) となります。したがって $$\text{Ai}(1) = 0.3550280539 \times 1.1722994 - 0.2588194038 \times 1.0853395 \approx 0.1352924$$ $$\text{Bi}(1) = \sqrt{3} \times (0.4161680 + 0.2808727) \approx 1.2074236$$ です。これらは標準的な参照値と一致します。
よくある質問
Ai(0) と Bi(0) の値は？ \(\text{Ai}(0) = 0.3550280539\)、\(\text{Bi}(0) = \sqrt{3} \times \text{Ai}(0) = 0.6149266274\) で、いずれも厳密な閉形式で表されます。
なぜ Bi(x) は発散するのですか？ Bi(x) は x が大きい正の領域で \(\exp((2/3)x^{3/2})\) のように増大し、x ≈ 100 付近で倍精度浮動小数点数のオーバーフローに達します。これはエラーではなく、関数本来の性質です。
負の x も使えますか？ 使えます。x が大きな負の値のとき、関数は振動します。本計算機では精度を保つために、振動型の漸近形を用いて計算します。
