ما هي دوال إيري؟
دالتا إيري \(\text{Ai}(x)\) و\(\text{Bi}(x)\) هما الحلّان المستقلان خطيًا لمعادلة إيري التفاضلية \(y'' = x \cdot y\) (أو بصياغة مكافئة \(y'' - x \cdot y = 0\)). وتظهر هاتان الدالتان في مجالات واسعة من الفيزياء والرياضيات التطبيقية: قرب نقاط التحول الكلاسيكية في ميكانيكا الكم (مسألة الربط في طريقة WKB)، وفي وصف الانعكاسات الضوئية (caustics) وأقواس قزح في علم البصريات، وفي التحليل المقارب (asymptotic analysis). فالدالة \(\text{Ai}(x)\) هي الحل الذي يتلاشى عندما تكبر \(x\) وتتزايد نحو القيم الموجبة، بينما تنمو \(\text{Bi}(x)\) أسّيًا في الحدّ نفسه. أما عند القيم السالبة لـ \(x\) فتتذبذب الدالتان معًا وتتلاشيان ببطء بمعدل يتناسب مع \(|x|^{-1/4}\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أي قيمة حقيقية منتهية لـ \(x\) (موجبة أو سالبة أو صفرًا) لتحصل مباشرةً على قيمتي \(\text{Ai}(x)\) و\(\text{Bi}(x)\). والقيمة الافتراضية \(x = 1.0\) معطاة كنقطة انطلاق. ولا توجد وحدات هنا، إذ إن \(x\) عدد حقيقي صرف بلا أبعاد.
شرح الصيغة
عند القيم المعتدلة لـ \(|x|\) تعتمد الحاسبة على المتسلسلة الأسّية المتقاربة في كل مكان. وتُجمع المتسلسلتان \(f(x)\) و\(g(x)\) عبر علاقة تكرارية مستقرة: $$f(x)=\sum_{k\ge0}\frac{3^k(1/3)_k}{(3k)!}x^{3k},\quad g(x)=\sum_{k\ge0}\frac{3^k(2/3)_k}{(3k+1)!}x^{3k+1}$$ بالنسبة إلى \(f\)، يكون \(\text{الحدّ}_k = \text{الحدّ}_{k-1} \times x^3 / ((3k-1)(3k))\) بدءًا من \(1\)؛ وبالنسبة إلى \(g\)، يكون \(\text{الحدّ}_k = \text{الحدّ}_{k-1} \times x^3 / ((3k)(3k+1))\) بدءًا من \(x\). ثم نحسب $$\text{Ai}(x) = c_1 f(x) - c_2 g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\bigl(c_1 f(x) + c_2 g(x)\bigr)$$ حيث \(c_1 = \text{Ai}(0) = 0.3550280539\) و\(c_2 = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038\). وعندما تتجاوز \(|x|\) نحو \(8\) ينتقل الكود إلى المتسلسلات المقاربة لتفادي خطأ الإلغاء (cancellation error).
مثال محلول (x = 1)
لدينا \(f(1) \approx 1.1722994\) و\(g(1) \approx 1.0853395\). ومن ثَمّ فإن $$\text{Ai}(1) = 0.3550280539 \times 1.1722994 - 0.2588194038 \times 1.0853395 \approx 0.1352924$$ و $$\text{Bi}(1) = \sqrt{3} \times (0.4161680 + 0.2808727) \approx 1.2074236$$ وتتطابق هذه النتائج مع القيم المرجعية المعتمدة.
الأسئلة الشائعة
ما قيمتا Ai(0) وBi(0)؟ \(\text{Ai}(0) = 0.3550280539\) و\(\text{Bi}(0) = \sqrt{3} \times \text{Ai}(0) = 0.6149266274\)، وهما صيغتان مغلقتان دقيقتان.
لماذا تنفجر قيمة Bi(x)؟ تنمو \(\text{Bi}(x)\) بمعدل \(\exp((2/3)x^{3/2})\) عند القيم الموجبة الكبيرة لـ \(x\)، وستتجاوز حدّ الدقة المزدوجة (double precision) قرب \(x \approx 100\)؛ وهذا سلوك متوقع وليس خطأً.
هل يمكنني استخدام قيم سالبة لـ x؟ نعم. فعند القيم السالبة الكبيرة تتذبذب الدالتان، وتستخدم الحاسبة الصيغ المقاربة التذبذبية لضمان الدقة.
