ما هي دالة غاما الناقصة؟
تُعمّم دالة غاما الناقصة دالة غاما العادية (الكاملة) من خلال إيقاف التكامل عند نقطة منتهية بدلاً من المضي به حتى ما لا نهاية. فـدالة غاما الناقصة السفلية \(\gamma(a,x)\) تكامل المقدار \(t^{a-1} e^{-t}\) من 0 حتى x، بينما تكامل دالة غاما الناقصة العلوية \(\Gamma(a,x)\) المقدار نفسه من x إلى ما لا نهاية. وتعتمد كلتاهما على معامل الشكل a والوسيط x، وكلتاهما عددان حقيقيان مجردان لا وحدة لهما. وتظهر هاتان الدالتان باستمرار في علم الإحصاء (دوال التوزيع التراكمي لتوزيع كاي تربيع وتوزيع غاما)، وفي الفيزياء، وهندسة الموثوقية، ونظرية صفوف الانتظار.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل معامل الشكل a (يجب أن يكون موجباً، a أكبر من 0) والوسيط x (يجب ألا يكون سالباً، x أكبر من أو يساوي 0). تُرجع الحاسبة قيم \(\gamma(a,x)\) و \(\Gamma(a,x)\) ودالة غاما الكاملة \(\Gamma(a)\) بحيث يمكنك التحقق من المتطابقة \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\). عند x = 0 تساوي الدالة السفلية 0 وتساوي الدالة العلوية \(\Gamma(a)\)، وكلما كبرت قيمة x اقتربت الدالة السفلية من \(\Gamma(a)\) واقتربت الدالة العلوية من 0.
الصيغة والخوارزمية
التكاملان المعرِّفان هما
$$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$و
$$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$ولحسابهما بثبات عددي، تستخدم هذه الأداة الصيغتين المنتظمتين \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) و \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\). فعندما تكون x أصغر من a+1 تُعطي متسلسلة قوى سريعة التقارب القيمة P، وفي غير ذلك يُعطي كسر مستمر بطريقة لنتز (Lentz) القيمة Q. أما دالة غاما الكاملة \(\Gamma(a)\) فتُحسب من تقريب لانتزوس (Lanczos) للمقدار \(\ln \Gamma(a)\). هذا هو التقسيم الكلاسيكي gammp/gammq المعروف في كتاب Numerical Recipes، وهو دقيق إلى نحو 15 رقماً معنوياً في الدقة المضاعفة.
مثال محلول
لنأخذ a = 1 و x = 2. وبما أن \(t^{a-1} = t^0 = 1\)، فإن الدالة السفلية هي تكامل \(e^{-t}\) من 0 إلى 2 \(= 1 - e^{-2} = 1 - 0.13533528 = 0.86466472\). أما الدالة العلوية فهي \(e^{-2} = 0.13533528\)، و \(\Gamma(1) = 1\). والتحقق من المتطابقة \(0.86466472 + 0.13533528 = 1.0\) يؤكد صحة النتيجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون a موجبة؟ تتطلب التعريفات المتقاربة وحساب لنتزوس للمقدار ln-غاما أن تكون a أكبر من 0؛ فعند الأعداد الصحيحة غير الموجبة تكون لدالة \(\Gamma(a)\) أقطاب (نقاط لانهائية).
ماذا لو كانت x تساوي 0؟ \(\gamma(a,0) = 0\) و \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\)، أي إن الدالة العلوية تساوي دالة غاما الكاملة.
ما مدى دقة النتيجة؟ توفّر الحسابات بالدقة المضاعفة والتقسيم بين المتسلسلة والكسر المستمر نحو 15 رقماً معنوياً عبر النطاق الصالح بأكمله.
