ما هي دالة لوغاريتم غاما؟
دالة لوغاريتم غاما، التي تُكتب \(\ln\Gamma(a)\) أو \(\ln(\Gamma(a))\)، هي اللوغاريتم الطبيعي لدالة غاما \(\Gamma(a)\). تعمل دالة غاما على تعميم مفهوم العاملي (المضروب) ليشمل الأعداد الحقيقية والعقدية: فبالنسبة لأي عدد صحيح موجب \(n\)، يكون \(\Gamma(n) = (n-1)!\). ولأن دالة غاما تنمو بسرعة هائلة، يفضّل العلماء والإحصائيون التعامل مع لوغاريتمها دائمًا تقريبًا لتجنّب الطفحان العددي (overflow). وتظهر دالة \(\ln\Gamma\) في كثير من المجالات: نظرية الاحتمالات (توزيعات بيتا وغاما واختبار مربع كاي)، والتوافيق، والتحليل العددي.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الوسيط \(a\) (أي عدد حقيقي) ثم اضغط على زر الحساب. تعيد الأداة قيمة \(\ln\Gamma(a)\) بصيغة اللوغاريتم الطبيعي، إضافةً إلى الصيغة بالأساس 10 (Log10 Gamma). فإذا كان \(a\) أكبر من 0 تكون النتيجة عددًا حقيقيًا. أما عند القيم \(a = 0, -1, -2, -3, \ldots\) فإن لدالة غاما أقطابًا (poles)، ومن ثم تكون \(\ln\Gamma\) غير معرّفة، وتُنبّهك الحاسبة إلى ذلك. وعندما يكون \(a\) سالبًا وغير صحيح، قد تأخذ غاما قيمة سالبة؛ وفي هذه الحالة تعطيك الحاسبة القيمة الأساسية الحقيقية باستخدام صيغة الانعكاس.
شرح الصيغة
تستخدم هذه الحاسبة تقريب لانكزوس (Lanczos) بمعاملات \(g = 7\) وتسعة معاملات، وهو طريقة مغلقة الصيغة سريعة وعالية الدقة. فبوضع \(x = a - 1\) و \(t = x + 7.5\)، يحسب التقريب مجموعًا مرجّحًا \(A\) لمعاملات لانكزوس، ثم يقيّم
$$\ln\Gamma(a) = 0.5\ln(2\pi) + \left(x + 0.5\right)\ln(t) - t + \ln(A).$$أما إذا كان \(a\) أصغر من أو يساوي 0.5، فتُستخدم صيغة الانعكاس
$$\Gamma(a)\,\Gamma(1-a) = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}$$لنقل المسألة إلى قيمة تتقارب عندها متسلسلة لانكزوس تقاربًا جيدًا.
مثال محلول
عند \(a = 3.5\): نجد أن
$$\Gamma(3.5) = 2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times \sqrt{\pi} = 1.875 \times 1.7724538509 = 3.32335097045.$$وبالتالي
$$\ln\Gamma(3.5) = \ln(3.32335097045) = 1.20097360234707.$$وكتحقّق ثانٍ، عند \(a = 5\) يكون \(\Gamma(5) = 4! = 24\)، ومن ثم
$$\ln\Gamma(5) = \ln(24) = 3.17805383034795.$$الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم لوغاريتم غاما بدلًا من غاما نفسها؟ لأن \(\Gamma(a)\) تتجاوز حدود الأعداد العشرية العائمة القياسية حتى عند قيم متوسطة لـ \(a\) (فقيمة \(\Gamma(171)\) وحدها تتعدى مدى دقة الـ double)، بينما تبقى قيمة \(\ln\Gamma\) في نطاق يسهل التعامل معه، ولذلك تكون الصيغة اللوغاريتمية هي الخيار العملي.
ما قيمة \(\ln\Gamma(1)\) و \(\ln\Gamma(2)\)؟ كلتاهما تساوي 0، لأن \(\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\) و \(\ln(1) = 0\). وللدالة قيمة صغرى قرب \(a = 1.4616\).
هل النتيجة دقيقة تمامًا؟ تقريب لانكزوس دقيق إلى نحو 15 رقمًا معنويًا للوسائط الاعتيادية، وهو ما يطابق دقة الأعداد العائمة المزدوجة (double precision).
