Qu'est-ce que la fonction log-gamma ?
La fonction log-gamma, notée \(\ln\Gamma(\text{a})\) ou \(\ln(\Gamma(\text{a}))\), correspond au logarithme népérien de la fonction gamma \(\Gamma(\text{a})\). La fonction gamma prolonge la factorielle aux nombres réels et complexes : pour un entier positif \(n\), on a \(\Gamma(n) = (n-1)!\). Comme \(\Gamma(\text{a})\) croît extrêmement vite, les scientifiques et les statisticiens travaillent presque toujours avec son logarithme afin d'éviter les dépassements numériques. On retrouve \(\ln\Gamma\) un peu partout en probabilités (lois bêta et gamma, test du khi-deux), en combinatoire et en analyse numérique.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'argument \(\text{a}\) (un réel quelconque) puis lancez le calcul. L'outil renvoie \(\ln\Gamma(\text{a})\) en logarithme népérien, ainsi que sa version en base 10 (Log10 Gamma). Pour \(\text{a}\) strictement supérieur à 0, le résultat est un nombre réel. En \(\text{a} = 0, -1, -2, -3\), etc., la fonction gamma présente des pôles : \(\ln\Gamma\) n'est alors pas définie et le calculateur le signale. Pour des valeurs de \(\text{a}\) négatives non entières, \(\Gamma\) peut être négative ; le calculateur fournit la valeur principale réelle grâce à la formule de réflexion.
La formule expliquée
Ce calculateur s'appuie sur l'approximation de Lanczos (\(g = 7\), neuf coefficients), une méthode analytique rapide et d'une grande précision. En posant \(x = \text{a} - 1\) et \(t = x + 7{,}5\), il évalue une somme pondérée \(A\) des coefficients de Lanczos, puis calcule $$\ln\Gamma(\text{a}) = 0{,}5\,\ln(2\pi) + (x + 0{,}5)\ln(t) - t + \ln(A).$$ Pour \(\text{a}\) inférieur ou égal à \(0{,}5\), la formule de réflexion $$\Gamma(\text{a})\,\Gamma(1-\text{a}) = \frac{\pi}{\sin(\pi\,\text{a})}$$ ramène le problème à une valeur où la série de Lanczos converge correctement.
Exemple détaillé
Pour \(\text{a} = 3{,}5\) : $$\Gamma(3{,}5) = 2{,}5 \times 1{,}5 \times 0{,}5 \times \sqrt{\pi} = 1{,}875 \times 1{,}7724538509 = 3{,}32335097045.$$ On obtient donc $$\ln\Gamma(3{,}5) = \ln(3{,}32335097045) = 1{,}20097360234707.$$ Pour vérifier avec un second exemple, prenons \(\text{a} = 5\) : \(\Gamma(5) = 4! = 24\), d'où $$\ln\Gamma(5) = \ln(24) = 3{,}17805383034795.$$
FAQ
Pourquoi utiliser le logarithme de gamma plutôt que gamma elle-même ? La fonction \(\Gamma(\text{a})\) dépasse la capacité des nombres à virgule flottante standard dès des valeurs modérées de \(\text{a}\) (\(\Gamma(171)\) sort déjà de la plage des doubles), tandis que \(\ln\Gamma\) reste tout à fait gérable : la forme logarithmique est donc le choix pratique.
Que valent \(\ln\Gamma(1)\) et \(\ln\Gamma(2)\) ? Les deux sont nuls, car \(\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\) et \(\ln(1) = 0\). La fonction atteint un minimum aux alentours de \(\text{a} = 1{,}4616\).
Le résultat est-il exact ? L'approximation de Lanczos offre une précision d'environ 15 chiffres significatifs pour les arguments usuels, ce qui correspond à la précision des nombres à virgule flottante en double précision.
