लॉग गामा फ़ंक्शन क्या है?

लॉग गामा फ़ंक्शन, जिसे $\ln\Gamma(a)$ या $\ln(\Gamma(a))$ लिखा जाता है, दरअसल गामा फ़ंक्शन $\Gamma(a)$ का प्राकृतिक लघुगणक (नैचुरल लॉग) होता है। गामा फ़ंक्शन फ़ैक्टोरियल को वास्तविक और सम्मिश्र (complex) संख्याओं तक विस्तृत करता है: किसी धन पूर्णांक $n$ के लिए $\Gamma(n) = (n-1)!$ होता है। चूँकि $\Gamma(a)$ बहुत तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए वैज्ञानिक और सांख्यिकीविद् लगभग हमेशा इसके लघुगणक के साथ ही काम करते हैं ताकि संख्यात्मक ओवरफ़्लो से बचा जा सके। $\ln\Gamma$ प्रायिकता (बीटा और गामा बंटन, काई-वर्ग परीक्षण), संयोजिकी (combinatorics) और संख्यात्मक विश्लेषण में हर जगह दिखाई देता है।

निर्देशांक ग्रिड पर धनात्मक वास्तविक मानों के लिए लॉग गामा फलन का वक्र — $\ln\Gamma(a)$ वक्र $a \approx 1.46$ के पास न्यूनतम तक गिरता है और दोनों ओर ऊपर उठता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तर्क (argument) $a$ डालें — यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है — और 'कैलकुलेट' दबाएँ। यह टूल $\ln\Gamma(a)$ को प्राकृतिक लॉग रूप में देता है, साथ ही आधार-10 वाला रूप (Log10 Gamma) भी। जब $a$, 0 से बड़ा हो तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है। $a = 0, -1, -2, -3, \ldots$ पर गामा फ़ंक्शन में ध्रुव (poles) होते हैं, इसलिए वहाँ $\ln\Gamma$ अपरिभाषित रहता है और कैलकुलेटर यह बता देता है। ऋणात्मक गैर-पूर्णांक $a$ के लिए $\Gamma$ ऋणात्मक हो सकता है; ऐसे मामलों में कैलकुलेटर परावर्तन सूत्र (reflection formula) की मदद से वास्तविक मुख्य मान (principal value) देता है।

सूत्र की व्याख्या

यह कैलकुलेटर Lanczos अनुमान (g = 7, नौ गुणांक) का उपयोग करता है, जो एक तेज़ और बेहद सटीक बंद-रूप (closed-form) विधि है। $x = a - 1$ और $t = x + 7.5$ लेकर, यह Lanczos गुणांकों का भारित योग $A$ निकालता है और फिर

$$\ln\Gamma(a) = 0.5\,\ln(2\pi) + \left(x + 0.5\right)\ln(t) - t + \ln(A)$$

का मान निकालता है। जब $a$, 0.5 से कम या उसके बराबर हो, तो परावर्तन सूत्र

$$\Gamma(a)\,\Gamma(1-a) = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}$$

समस्या को ऐसे मान पर ले जाता है जहाँ Lanczos श्रेणी अच्छी तरह अभिसरित (converge) होती है।

लैंक्ज़ोस लॉग गामा सूत्र के हर भाग को लेबल किए गए ब्लॉक से जोड़ता आरेख — सूत्र के पद कैसे जुड़ते हैं: शिफ्ट $x=a-1$, मान $t=x+7.5$, और लैंक्ज़ोस श्रेणी $A$।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $a = 3.5$:

$$\Gamma(3.5) = 2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times \sqrt{\pi} = 1.875 \times 1.7724538509 = 3.32335097045$$

इसलिए

$$\ln\Gamma(3.5) = \ln(3.32335097045) = 1.20097360234707$$

एक और जाँच के तौर पर, $a = 5$ के लिए $\Gamma(5) = 4! = 24$ होता है, तो

$$\ln\Gamma(5) = \ln(24) = 3.17805383034795$$

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

गामा के बजाय गामा का लॉग क्यों इस्तेमाल करें? सामान्य फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं में $\Gamma(a)$ मध्यम मानों पर ही ओवरफ़्लो हो जाता है ($\Gamma(171)$ ही डबल रेंज से बाहर निकल जाता है), जबकि $\ln\Gamma$ संभालने योग्य बना रहता है। इसीलिए लॉग रूप व्यावहारिक विकल्प है।

$\ln\Gamma(1)$ और $\ln\Gamma(2)$ क्या होते हैं? दोनों 0 होते हैं, क्योंकि $\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ और $\ln(1) = 0$। इस फ़ंक्शन का न्यूनतम मान लगभग $a = 1.4616$ के पास आता है।

क्या परिणाम बिल्कुल सटीक होता है? Lanczos अनुमान सामान्य तर्कों के लिए लगभग 15 सार्थक अंकों तक सटीक होता है, जो डबल-प्रिसिज़न फ़्लोटिंग पॉइंट के बराबर है।

lnGamma(a)	1.20097360234708
Log10 Gamma(a)	0.52157620841081
विधि	Lanczos अनुमान (g=7, n=9)

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