अपूर्ण गामा फ़ंक्शन क्या है?
अपूर्ण गामा फ़ंक्शन साधारण (पूर्ण) गामा फ़ंक्शन का ही एक विस्तृत रूप है, जिसमें समाकलन (integral) को अनंत तक ले जाने के बजाय किसी सीमित बिंदु पर रोक दिया जाता है। निम्न अपूर्ण गामा फ़ंक्शन \(\gamma(a,x)\) में \(t^{a-1} e^{-t}\) को 0 से x तक समाकलित किया जाता है, जबकि उच्च अपूर्ण गामा फ़ंक्शन \(\Gamma(a,x)\) में इसे x से अनंत तक समाकलित किया जाता है। दोनों ही आकार प्राचल (shape parameter) \(a\) और तर्क (argument) \(x\) पर निर्भर करते हैं, और दोनों ही विशुद्ध रूप से विमाहीन (dimensionless) वास्तविक संख्याएँ होती हैं। ये सांख्यिकी (chi-square और गामा वितरण के CDF), भौतिकी, विश्वसनीयता इंजीनियरिंग और कतार सिद्धांत (queueing theory) में लगातार दिखाई देते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
आकार प्राचल a (धनात्मक होना ज़रूरी है, \(a > 0\)) और तर्क x (ऋणेतर होना ज़रूरी है, \(x \ge 0\)) दर्ज करें। कैलकुलेटर \(\gamma(a,x)\), \(\Gamma(a,x)\) और पूर्ण गामा फ़ंक्शन \(\Gamma(a)\) लौटाता है, ताकि आप इस सर्वसमिका (identity) \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\) की पुष्टि कर सकें। \(x = 0\) पर निम्न फ़ंक्शन 0 होता है और उच्च फ़ंक्शन \(\Gamma(a)\) के बराबर होता है; जैसे-जैसे x बढ़ता जाता है, निम्न फ़ंक्शन \(\Gamma(a)\) के निकट पहुँचता है और उच्च फ़ंक्शन 0 की ओर बढ़ता है।
सूत्र और एल्गोरिदम
परिभाषित समाकल हैं $$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$ और $$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$ इन्हें स्थिरता के साथ हल करने के लिए यह उपकरण नियमित (regularized) रूपों \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) और \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\) का उपयोग करता है। जब \(x < a+1\) हो, तब तेज़ी से अभिसरित होने वाली घात श्रेणी (power series) P देती है; अन्यथा एक Lentz सतत भिन्न (continued fraction) Q देती है। पूर्ण गामा \(\Gamma(a)\) को \(\ln \Gamma(a)\) के Lanczos सन्निकटन से प्राप्त किया जाता है। यह वही क्लासिक Numerical Recipes का gammp/gammq विभाजन है, जो डबल परिशुद्धता (double precision) में लगभग 15 सार्थक अंकों तक सटीक होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 1\) और \(x = 2\)। चूँकि \(t^{a-1} = t^0 = 1\) है, इसलिए निम्न फ़ंक्शन \(e^{-t}\) का 0 से 2 तक समाकलन है $$= 1 - e^{-2} = 1 - 0.13533528 = 0.86466472$$ उच्च फ़ंक्शन \(e^{-2} = 0.13533528\) है, और \(\Gamma(1) = 1\) है। सर्वसमिका जाँच \(0.86466472 + 0.13533528 = 1.0\) इस परिणाम की पुष्टि करती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
a का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? अभिसरित परिभाषाओं और Lanczos ln-गामा मूल्यांकन के लिए \(a > 0\) आवश्यक है; ऋणेतर पूर्णांकों पर \(\Gamma(a)\) में ध्रुव (poles) होते हैं।
यदि x शून्य हो तो क्या होगा? \(\gamma(a,0) = 0\) और \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\), यानी उच्च फ़ंक्शन पूर्ण गामा फ़ंक्शन के बराबर हो जाता है।
परिणाम कितना सटीक होता है? डबल-परिशुद्धता अंकगणित और श्रेणी/सतत-भिन्न विभाजन वैध डोमेन में लगभग 15 सार्थक अंकों तक सटीकता देते हैं।
