Tamamlanmamış gama fonksiyonu nedir?
Tamamlanmamış gama fonksiyonu, sıradan (tam) gama fonksiyonunu genelleştirir; aradaki fark, integralin sonsuza kadar değil, sonlu bir noktada durdurulmasıdır. Alt tamamlanmamış gama fonksiyonu \(\gamma(a,x)\), \(t^{a-1} e^{-t}\) ifadesini 0'dan x'e kadar integre ederken, üst tamamlanmamış gama fonksiyonu \(\Gamma(a,x)\) aynı ifadeyi x'ten sonsuza kadar integre eder. Her ikisi de bir şekil parametresi a ile bir argüman x'e bağlıdır ve sonuçları boyutsuz, saf gerçel sayılardır. Bu fonksiyonlar istatistikte (ki-kare ve gama dağılımlarının birikimli dağılım fonksiyonları), fizikte, güvenilirlik mühendisliğinde ve kuyruk teorisinde sürekli karşımıza çıkar.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Şekil parametresi a değerini (pozitif olmalı, \(a > 0\)) ve argüman x değerini (negatif olmamalı, \(x \ge 0\)) girin. Araç size \(\gamma(a,x)\), \(\Gamma(a,x)\) ve tam gama fonksiyonu \(\Gamma(a)\) değerlerini döndürür; böylece \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\) özdeşliğini kendiniz de doğrulayabilirsiniz. \(x = 0\) noktasında alt fonksiyon 0'dır ve üst fonksiyon \(\Gamma(a)\)'ya eşittir; x büyüdükçe alt fonksiyon \(\Gamma(a)\)'ya yaklaşır, üst fonksiyon ise 0'a yaklaşır.
Formül ve algoritma
Tanımlayıcı integraller şöyledir:
$$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$$$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$Bu araç, hesaplamaları kararlı biçimde yapabilmek için düzenlenmiş (regularize) biçimleri kullanır: \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) ve \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\). \(x < a+1\) olduğunda hızla yakınsayan bir kuvvet serisi P değerini verir; aksi halde bir Lentz sürekli kesri Q değerini verir. Tam gama \(\Gamma(a)\) ise \(\ln \Gamma(a)\) için Lanczos yaklaşımıyla elde edilir. Bu, klasik Numerical Recipes gammp/gammq ayrımıdır ve çift duyarlıklı (double precision) aritmetikte yaklaşık 15 anlamlı basamak doğruluk sağlar.
Çözümlü örnek
\(a = 1\) ve \(x = 2\) alalım. \(t^{a-1} = t^0 = 1\) olduğundan, alt fonksiyon \(e^{-t}\) ifadesinin 0'dan 2'ye integralidir:
$$1 - e^{-2} = 1 - 0{,}13533528 = 0{,}86466472$$Üst fonksiyon \(e^{-2} = 0{,}13533528\) ve \(\Gamma(1) = 1\)'dir. Özdeşlik kontrolü \(0{,}86466472 + 0{,}13533528 = 1{,}0\) olduğundan sonuç doğrulanmış olur.
Sıkça sorulan sorular
a neden pozitif olmak zorunda? Yakınsak tanımlar ve Lanczos ln-gama hesabı \(a > 0\) koşulunu gerektirir; pozitif olmayan tam sayılarda \(\Gamma(a)\) kutuplara (sonsuza giden değerlere) sahiptir.
x sıfır olursa ne olur? \(\gamma(a,0) = 0\) ve \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\) olur; yani üst fonksiyon tam gama fonksiyonuna eşitlenir.
Sonuç ne kadar doğru? Çift duyarlıklı aritmetik ve seri/sürekli kesir ayrımı sayesinde, geçerli tanım aralığının tamamında yaklaşık 15 anlamlı basamak doğruluk elde edilir.
