Gama fonksiyonu nedir?
\(\Gamma(a)\) ile gösterilen Gama fonksiyonu, faktöriyel kavramının gerçel (ve karmaşık) sayılara uzanan sürekli karşılığıdır. Pozitif bir n tam sayısı için \(\Gamma(n) = (n-1)!\) eşitliği geçerlidir; yani \(\Gamma(5) = 4! = 24\) olur. Reel kısmı pozitif olan gerçel bir a değişkeni için fonksiyon, şu has olmayan integralle tanımlanır: $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$ Bu hesap aracı, girdiğiniz herhangi bir gerçel a için \(\Gamma(a)\) değerini döndürür.
Hesap aracı nasıl kullanılır?
Gerçel a değişkenini "Değişken a" alanına yazın ve sonucun kaç ondalık basamakla gösterileceğini seçin. İntegrandı \(t^{a-1}e^{-t}\) ile 0'dan sonsuza uzanan sınırlar tanımın gereği sabittir; dolayısıyla sizin yalnızca a değerini girmeniz yeterlidir. Araç \(\Gamma(a)\) değerini gösterir. a = 0 ya da negatif bir tam sayı girerseniz, Gama fonksiyonunun orada bir kutbu bulunduğundan sonuç "tanımsız" olarak verilir.
Formülün açıklaması
Hesap aracı her seferinde sayısal integral almak yerine Lanczos yaklaşımını (g = 7, dokuz katsayı) kullanır; bu yöntem integral değerini yaklaşık 15 anlamlı basamağa kadar doğru biçimde yeniden üretir. \(a \le 0{,}5\) olduğunda önce yansıma formülünü \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\) uygular. Bu formül, değişkeni hesaplamaların iyi koşullandığı bölgeye yansıtır ve hatta tam sayı olmayan negatif değerlerde sonlu (bazen negatif) değerleri de üretir.
Çözümlü örnek
a = 3,5 alalım. \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\) yineleme bağıntısını kullanarak: $$\Gamma(3{,}5) = 2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot \Gamma(0{,}5) = 1{,}875 \cdot \sqrt{\pi} = 1{,}875 \cdot 1{,}7724538509 \approx 3{,}3233509704$$ Hesap aracı da aynı değeri verir.
Sık sorulan sorular
\(\Gamma(0)\) neden tanımsız? İntegral ıraksar; fonksiyonun 0 noktasında ve her negatif tam sayıda basit bir kutbu vardır, bu yüzden değer sonsuzdur.
\(\Gamma(0{,}5)\) kaçtır? Tam olarak \(\sqrt{\pi} \approx 1{,}7724538509\)'dur; bu, Gauss integraliyle ilişkili ünlü bir sonuçtur.
Sonuç ne kadar doğru? Lanczos yaklaşımı tipik değişkenler için yaklaşık 15 basamağa kadar doğrudur; bu da neredeyse tüm uygulamalar için fazlasıyla yeterlidir.
