Küresel Hankel Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Fonksiyon h_v^(1)(x) - birinci tür h_v^(2)(x) - ikinci tür h_v^(1)'(x) - birinci türün türevi h_v^(2)'(x) - ikinci türün türevi

Order v (integer ≥ 0)

x'in başlangıç değeri

Artış (adım)

Nokta sayısı

Sonuç

h_v^(1)(x) at order v = 0, x = 1

0,841471 -0,540302 i

magnitude = 1 · 10 points

-0,540302

#	x	Reel kısım	Sanal kısım	Büyüklük
0	1	0,841471	-0,540302	1
1	2	0,454649	0,208073	0,5
2	3	0,04704	0,329997	0,333333
3	4	-0,189201	0,163411	0,25
4	5	-0,191785	-0,056732	0,2
5	6	-0,046569	-0,160028	0,166667
6	7	0,093855	-0,1077	0,142857
7	8	0,12367	0,018188	0,125
8	9	0,045791	0,101237	0,111111
9	10	-0,054402	0,083907	0,1

Küresel Hankel Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı nedir?

Bu evrensel matematik aracı, seçtiğiniz tam sayı mertebesi \(v\) için birinci tür \(h_{v}^{(1)}(x)\) ve ikinci tür \(h_{v}^{(2)}(x)\) küresel Hankel fonksiyonlarını ve bunların birinci türevlerini, ardışık reel \(x\) değerlerinden oluşan bir dizi boyunca tablo hâline getirir. Bu fonksiyonlar karmaşık değerli olduğundan, her satır bir reel kısım, bir sanal kısım ve büyüklük olarak gösterilir.

Nasıl kullanılır?

Önce tablolaştırmak istediğiniz fonksiyonu seçin (birinci tür, ikinci tür ya da bunların türevleri). Ardından tam sayı mertebesi \(v\)'yi, \(x\)'in başlangıç değerini, ardışık \(x\) değerleri arasındaki adımı (artış miktarını) ve üretilecek nokta sayısını belirleyin. Hesaplayıcı, \(k = 0\)'dan \(N-1\)'e kadar her değer için $$x = \text{başlangıçX} + k \cdot \text{adımX}$$ formülüyle bir satır oluşturur ve seçtiğiniz fonksiyonu her \(x\) değerinde hesaplar.

Formülün açıklaması

Küresel Bessel fonksiyonları kapalı biçimlerle ifade edilir: \(j_{0}(x) = \sin(x)/x\), \(j_{1}(x) = \sin(x)/x^{2} - \cos(x)/x\), \(y_{0}(x) = -\cos(x)/x\), \(y_{1}(x) = -\cos(x)/x^{2} - \sin(x)/x\). Daha yüksek mertebeler, üç terimli yineleme bağıntısını izler: $$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_{v} - f_{v-1}.$$ Buradan \(h_{v}^{(1)} = j_{v} + i\,y_{v}\) ve \(h_{v}^{(2)} = j_{v} - i\,y_{v}\) (karmaşık eşlenik) elde edilir. Türevler ise $$f_{v}^{\prime}(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_{v}(x)$$ bağıntısıyla, \(f_{0}^{\prime} = -f_{1}\) başlangıç koşuluyla hesaplanır.

Reklam

Küresel Hankel fonksiyonu, \(j_{v}(x)\) (gerçek eksen) ve \(y_{v}(x)\) (sanal eksen) değerlerini tek bir karmaşık değerde birleştirir.

Çözümlü örnek

\(v = 0\) ve \(\text{başlangıçX} = 2\) için \(h_{v}^{(1)}(x)\): \(j_{0}(2) = \sin(2)/2 = 0{,}4546487\), \(y_{0}(2) = -\cos(2)/2 = 0{,}2080734\), dolayısıyla $$h_{0}^{(1)}(2) = 0{,}4546487 + 0{,}2080734\,i$$ olur ve büyüklüğü \(1/x = 0{,}5\)'tir. İkinci tür \(h_{0}^{(2)}(2)\) için sanal kısmın işareti tersine döner ve \(-0{,}2080734\) olur.

\(h_{v}(x)\)'in gerçek ve sanal kısımları, \(x\) arttıkça salınır ve sönümlenir.

Sıkça sorulan sorular

\(x = 0\) neden kullanılamıyor? Her formül \(x\)'e bölme içerir ve \(x\) sıfıra yaklaşırken \(y_{v}\) ıraksar; bu nedenle bu satırlar tekil (singüler) olarak işaretlenir.

\(|h_{0}^{(1)}(x)|\) neden \(1/x\)'e eşittir? Çünkü $$j_{0}^{2} + y_{0}^{2} = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$$ olur.

Tam sayı olmayan mertebeleri destekliyor mu? Bu sürüm yalnızca tam sayı mertebeli kapalı biçimleri ve yineleme bağıntılarını kullanır; tam sayı olmayan mertebeler desteklenmez.