구면 한켈 함수표 계산기란?
이 범용 수학 도구는 선택한 정수 차수 v에 대해 제1종 구면 한켈 함수 h_v^(1)(x)와 제2종 함수 h_v^(2)(x), 그리고 각 함수의 1차 도함수를 일련의 실수 인수 x에 대해 표 형태로 계산합니다. 이 함수들은 복소수 값을 가지므로 각 항목은 실수부와 허수부, 그리고 크기(절댓값)로 함께 표시됩니다.
사용 방법
먼저 표로 만들 함수를 고릅니다(제1종, 제2종, 또는 두 도함수 중 하나). 그다음 정수 차수 v, x의 시작값, 연속된 x 값 사이의 간격(증분), 생성할 점의 개수를 입력하세요. 계산기는 k = 0부터 N-1까지 각 k에 대해 x = initialX + k * stepX로 행을 만들고, 모든 x에서 선택한 함수의 값을 계산합니다.
공식 설명
구면 베셀 함수는 닫힌 형태(closed form)로 표현됩니다. j_0(x) = sin(x)/x, j_1(x) = sin(x)/x^2 - cos(x)/x, y_0(x) = -cos(x)/x, y_1(x) = -cos(x)/x^2 - sin(x)/x 입니다. 더 높은 차수는 3항 점화식 f_{v+1} = ((2v+1)/x) f_v - f_{v-1}을 따릅니다. 그리고 h_v^(1) = j_v + i y_v, h_v^(2) = j_v - i y_v(복소켤레)로 정의됩니다. 도함수는 f_v'(x) = f_{v-1}(x) - ((v+1)/x) f_v(x)로 구하며, v = 0일 때는 f_0' = -f_1 입니다.
계산 예시
v = 0, initialX = 2인 h_v^(1)(x)의 경우: j_0(2) = sin(2)/2 = 0.4546487, y_0(2) = -cos(2)/2 = 0.2080734 이므로 h_0^(1)(2) = 0.4546487 + 0.2080734 i 이고 크기는 1/x = 0.5 입니다. 제2종 h_0^(2)(2)에서는 허수부의 부호가 뒤집혀 -0.2080734가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 x = 0은 허용되지 않나요? 모든 공식이 x로 나누는 형태이고, x가 0에 가까워질수록 y_v가 발산하기 때문에 해당 행은 특이점(singular)으로 표시됩니다.
왜 |h_0^(1)(x)|가 1/x와 같나요? j_0^2 + y_0^2 = (sin^2 x + cos^2 x)/x^2 = 1/x^2 이기 때문입니다.
정수가 아닌 차수도 지원하나요? 이 버전은 정수 차수의 정확한 닫힌 형태와 점화식을 사용하므로, 정수가 아닌 차수는 지원하지 않습니다.
