베셀 Y 함수 표 계산기란?

이 도구는 제2종 베셀 함수를 표로 계산합니다. 베버(Weber) 함수 또는 노이만(Neumann) 함수라고도 불리며 $Y_{v}(x)$로 표기합니다. 이 함수는 베셀 미분방정식의 두 번째 선형 독립 해입니다. 실수 차수 $v$를 고정한 뒤, 시작값·증분·점 개수로 정의된 일련의 $x$ 값에서 $Y_{v}(x)$를 계산하여 완전한 수치 표를 만들어 줍니다.

x에 대해 그린 제2종 베셀 함수 Y0, Y1, Y2의 곡선 — 차수 0, 1, 2의 제2종 베셀 함수 $Y_v(x)$. $x = 0$ 부근의 특이점과 진동 감쇠를 보여줌.

사용 방법

차수 $v$(정수가 아니어도 되고 음수도 가능), $x$의 시작값, 점과 점 사이의 증분(스텝), 그리고 반복 횟수(행 수)를 입력하세요. 계산기는 $i = 0$부터 $\text{pointCount}-1$까지 $x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$ 를 만들고 각 값에 대한 $Y_{v}(x)$를 나열합니다. 단, $Y_{v}(x)$는 $x = 0$에서 음의 무한대로 발산하며 $x > 0$ 에서만 실수값을 가지므로, $x \le 0$ 인 행은 정의되지 않음(undefined)으로 표시됩니다.

공식

정수가 아닌 차수의 경우:

$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$

정수 차수 $n$의 경우에는 극한을 취하면 $J_{n}(x)\cdot\ln(x/2)$ 형태의 로그 항, 유한한 거듭제곱 급수 보정항, 디감마(digamma) 급수를 포함한 닫힌 형태의 식이 얻어집니다. 제1종 함수 $J_{v}(x)$는 거듭제곱 급수로부터 합산하며, 감마 함수는 란초스(Lanczos) 근사로 계산합니다.

계산 예시

$v = 0$, $\text{startX} = 0$, $\text{stepX} = 0.2$, $\text{pointCount} = 51$로 설정하면 행은 $x = 0.0$부터 $10.0$까지 진행됩니다. $Y_{0}(0)$은 정의되지 않음($-\infty$), $Y_{0}(0.2) \approx -1.0811$, $Y_{0}(1.0) \approx 0.0883$, $Y_{0}(2.0) \approx 0.5104$, $Y_{0}(10.0) \approx 0.0557$ 입니다. 상단의 "첫 유한값"에는 $-1.0811$이 표시됩니다.

정의 및 용어집

차수 $\nu$: 베셀 함수 족을 인덱싱하는 매개변수(order 필드)입니다. 임의의 실수가 될 수 있습니다. 정수 차수(0, 1, 2, …)는 원통 대칭을 가진 물리 문제에서 가장 일반적입니다. 반정수 차수는 구 베셀 함수를 제공합니다.
제2종 베셀 함수 $Y_\nu(x)$: 웨버 함수 또는 노이만 함수라고도 합니다(때때로 $N_\nu$로 표기). 이것은 원점에서 무한(특이)인 베셀 방정식의 해입니다. 정수가 아닌 $\nu$에 대해 $Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$로 정의되며, 정수 경우는 극한으로 얻어집니다.
$J_\nu$ 대 $Y_\nu$: $J_\nu(x)$(제1종)는 $x=0$에서 유한합니다. $Y_\nu(x)$(제2종)는 $x\to 0^+$일 때 $-\infty$로 발산합니다. 함께 그들은 베셀 방정식의 완전한 독립 해의 쌍을 형성합니다.
베셀 미분 방정식: 선형 상미분 방정식 $x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0$입니다. 일반해는 $y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)$입니다.
감마 함수 $\Gamma(z)$: 계승의 연속 확장으로, $\Gamma(n+1) = n!$이며, $J_\nu$와 $Y_\nu$의 급수 계수에 나타납니다.
디감마 함수 $\psi(z)$: 로그 미분 $\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)$입니다. 정수 차수 $Y_n(x)$의 급수에 명시적으로 나타나며, 로그 항 $\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)$과 디감마 가중 계수를 포함합니다.
랑초스 근사: 복소수 또는 실수 인자에 대해 감마 함수 $\Gamma(z)$를 계산하는 매우 정확한 수치 방법으로, 베셀 함수 루틴 내에서 급수 계수를 계산하는 데 일반적으로 사용됩니다.
선형독립 해: 첫 번째 해의 상수배로 표현할 수 없는 두 번째 해입니다. $J_\nu$만으로는 원점에서 특이인 해를 나타낼 수 없기 때문에, $Y_\nu$는 일반해에 필요한 독립적인 동반자를 제공합니다.

자주 묻는 질문

왜 첫 번째 행이 정의되지 않음으로 나오나요? $Y_{v}(x)$는 $x = 0$에서 특이점을 가지며 $-\infty$로 발산하기 때문에 그 지점에서는 유한한 값이 존재하지 않습니다.

차수를 음수로 둘 수 있나요? 네. 음의 정수 차수에는 대칭성 $Y_{-n}(x) = (-1)^{n}Y_{n}(x)$ 가 적용되며, 음의 비정수 차수에는 일반 공식을 그대로 사용합니다.

정확도는 어느 정도인가요? 급수는 각 항이 기계 허용오차 아래로 떨어질 때까지 합산되며, 적당한 크기의 $x$에 대해 약 6~7자리의 유효숫자를 제공합니다.

x	Y_v(x)
0.0000	-Infinity
0.2000	-1.0811053
0.4000	-0.6060246
0.6000	-0.3085099
0.8000	-0.0868023
1.0000	0.0882570
1.2000	0.2280835
1.4000	0.3378951
1.6000	0.4204269
1.8000	0.4774317
2.0000	0.5103757
2.2000	0.5207843
2.4000	0.5104147
2.6000	0.4813306
2.8000	0.4359160
3.0000	0.3768500
3.2000	0.3070533
3.4000	0.2296153
3.6000	0.1477100
3.8000	0.0645032
4.0000	-0.0169407
4.2000	-0.0937512
4.4000	-0.1633365
4.6000	-0.2234600
4.8000	-0.2723038
5.0000	-0.3085176
5.2000	-0.3312509
5.4000	-0.3401679
5.6000	-0.3354442
5.8000	-0.3177464
6.0000	-0.2881947
6.2000	-0.2483100
6.4000	-0.1999486
6.6000	-0.1452262
6.8000	-0.0864339
7.0000	-0.0259497
7.2000	0.0338504
7.4000	0.0906809
7.6000	0.1424285
7.8000	0.1872272
8.0000	0.2235215
8.2000	0.2501180
8.4000	0.2662219
8.6000	0.2714577
8.8000	0.2658749
9.0000	0.2499367
9.2000	0.2244937
9.4000	0.1907439
9.6000	0.1501801
9.8000	0.1045271
10.0000	0.0556712

제2종 베셀 함수 Y 표 계산기

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자주 묻는 질문

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