ما هي حاسبة جدول دالة بيسل Y؟

تتيح لك هذه الأداة إنشاء جدول لدالة بيسل من النوع الثاني، المعروفة أيضاً بدالة فيبر أو نويمان، والتي تُكتب على الصورة $Y_{\nu}(x)$. وهي الحل الثاني المستقل خطياً لمعادلة بيسل التفاضلية. عند تثبيت رتبة حقيقية $\nu$، تحسب الأداة قيمة $Y_{\nu}(x)$ عند سلسلة من قيم $x$ تُحدَّد بقيمة بداية ومقدار زيادة وعدد من النقاط، لتنتج جدولاً عددياً متكاملاً.

منحنيات دوال بيسل من النوع الثاني Y0 وY1 وY2 مرسومة بدلالة x — دوال بيسل من النوع الثاني $Y_{\nu}(x)$ للرتب 0 و1 و2، موضحةً تفردها قرب $x = 0$ وتخامدها التذبذبي.

طريقة الاستخدام

أدخل الرتبة $\nu$ (التي قد تكون غير صحيحة أو سالبة)، والقيمة الابتدائية لـ $x$، ومقدار الزيادة (الخطوة) بين النقاط، وعدد التكرارات (الصفوف). تبني الحاسبة القيم وفق العلاقة $x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$ حيث $i$ من 0 إلى $\text{pointCount}-1$، ثم تعرض قيمة $Y_{\nu}(x)$ لكل نقطة. لاحظ أن $Y_{\nu}(x)$ تتباعد نحو سالب اللانهاية عند $x = 0$ وتكون حقيقية فقط عندما $x > 0$، لذا يُوسَم أي صف يكون فيه $x \le 0$ بأنه غير معرَّف.

الصيغة الرياضية

للرتبة غير الصحيحة:

$$Y_{\nu}(x) = \lim_{\mu \to \nu} \frac{J_{\mu}(x)\cos(\mu\pi) - J_{-\mu}(x)}{\sin(\mu\pi)}$$

أما للرتبة الصحيحة $n$، فإن أخذ النهاية يعطي صيغة مغلقة تتضمن حداً لوغاريتمياً مرتبطاً بـ $J_{n}(x)\cdot\ln(x/2)$، وتصحيحاً بمتسلسلة قوى منتهية، ومتسلسلة دالة دايغاما. أما دالة النوع الأول $J_{\nu}(x)$ فتُحسب بجمع متسلسلتها الأسية، مع حساب دالة غاما باستخدام تقريب لانكزوس.

مثال محلول

عند $\nu = 0$، و $\text{startX} = 0$، و $\text{stepX} = 0.2$، و $\text{pointCount} = 51$، تمتد الصفوف من $x = 0.0$ إلى $10.0$. تكون $Y_{0}(0)$ غير معرَّفة $(-\infty)$، بينما $Y_{0}(0.2) \approx -1.0811$، و $Y_{0}(1.0) \approx 0.0883$، و $Y_{0}(2.0) \approx 0.5104$، و $Y_{0}(10.0) \approx 0.0557$. وتُظهر "أول قيمة منتهية" البارزة القيمة $-1.0811$.

التعاريف والمسرد

الرتبة $\nu$: المعامل (حقل order) الذي يفهرس عائلة دوال بيسل. يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. الرتب الصحيحة (0، 1، 2، …) هي الأكثر شيوعًا في المسائل الفيزيائية ذات التماثل الأسطواني؛ الرتب النصفية الصحيحة تعطي دوال بيسل الكروية.
دالة بيسل من النوع الثاني $Y_\nu(x)$: تُسمى أيضًا دالة ويبر أو نيومان (يُكتب أحيانًا $N_\nu$). وهي حل لمعادلة بيسل غير محدود (منفرد) في الأصل. معرّفة للحالة غير الصحيحة $\nu$ بواسطة $Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$، مع الحصول على الحالة الصحيحة كحد.
$J_\nu$ مقابل $Y_\nu$: $J_\nu(x)$ (النوع الأول) محدود عند $x=0$؛ $Y_\nu(x)$ (النوع الثاني) يتباعد إلى $-\infty$ عندما $x\to 0^+$. معًا يشكلان زوجًا كاملاً من الحلول المستقلة خطيًا لمعادلة بيسل.
معادلة بيسل التفاضلية: المعادلة التفاضلية العادية الخطية $x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0$. حلها العام هو $y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)$.
دالة جاما $\Gamma(z)$: التوسع المستمر للمضروب، $\Gamma(n+1) = n!$، والتي تظهر في معاملات السلسلة $J_\nu$ و $Y_\nu$.
دالة ديجاما $\psi(z)$: المشتقة اللوغاريتمية $\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)$. تظهر بشكل صريح في السلسلة للرتب الصحيحة $Y_n(x)$، التي تحتوي على حد لوغاريتمي $\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)$ بالإضافة إلى معاملات موزونة بالديجاما.
تقريب لانتزوس: طريقة عددية دقيقة جداً لتقييم دالة جاما $\Gamma(z)$ للمتغيرات المعقدة أو الحقيقية، تُستخدم عادة داخل روتينات دالة بيسل لحساب معاملات السلسلة.
حل مستقل خطيًا: حل ثانٍ لا يمكن التعبير عنه كمضاعف ثابت للحل الأول. بما أن $J_\nu$ وحدها لا يمكن أن تمثل الحلول التي تكون منفردة في الأصل، فإن $Y_\nu$ توفر الرفيق المستقل اللازم للحل العام.

الأسئلة الشائعة

لماذا يكون الصف الأول غير معرَّف؟ لأن $Y_{\nu}(x)$ تمتلك تفرّداً عند $x = 0$ حيث تتباعد نحو $-\infty$، فلا توجد لها قيمة منتهية عند هذه النقطة.

هل يمكن أن تكون الرتبة سالبة؟ نعم. ففي حالة الرتبة الصحيحة السالبة تنطبق علاقة التماثل $Y_{-n}(x) = (-1)^{n}Y_{n}(x)$؛ أما في حالة الرتبة غير الصحيحة السالبة فتُستخدم الصيغة العامة مباشرةً.

ما مدى دقتها؟ تُجمع المتسلسلات حتى تنخفض حدودها دون حد تسامح الآلة، مما يعطي نحو 6 إلى 7 أرقام معنوية لقيم $x$ المعتدلة.

x	Y_v(x)
0.0000	-Infinity
0.2000	-1.0811053
0.4000	-0.6060246
0.6000	-0.3085099
0.8000	-0.0868023
1.0000	0.0882570
1.2000	0.2280835
1.4000	0.3378951
1.6000	0.4204269
1.8000	0.4774317
2.0000	0.5103757
2.2000	0.5207843
2.4000	0.5104147
2.6000	0.4813306
2.8000	0.4359160
3.0000	0.3768500
3.2000	0.3070533
3.4000	0.2296153
3.6000	0.1477100
3.8000	0.0645032
4.0000	-0.0169407
4.2000	-0.0937512
4.4000	-0.1633365
4.6000	-0.2234600
4.8000	-0.2723038
5.0000	-0.3085176
5.2000	-0.3312509
5.4000	-0.3401679
5.6000	-0.3354442
5.8000	-0.3177464
6.0000	-0.2881947
6.2000	-0.2483100
6.4000	-0.1999486
6.6000	-0.1452262
6.8000	-0.0864339
7.0000	-0.0259497
7.2000	0.0338504
7.4000	0.0906809
7.6000	0.1424285
7.8000	0.1872272
8.0000	0.2235215
8.2000	0.2501180
8.4000	0.2662219
8.6000	0.2714577
8.8000	0.2658749
9.0000	0.2499367
9.2000	0.2244937
9.4000	0.1907439
9.6000	0.1501801
9.8000	0.1045271
10.0000	0.0556712

حاسبة جدول دالة بيسل Y

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج