ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة دالة بيسل الكروية من النوع الأول \(j_v(x)\)، ودالة بيسل الكروية من النوع الثاني \(y_v(x)\)، إضافةً إلى مشتقتيهما الأولى \(j'_v(x)\) و\(y'_v(x)\). تمثّل هذه الدوال الحلول القُطرية لمعادلتي الموجة وهلمهولتز في الإحداثيات الكروية، وتظهر في مجالات الفيزياء المختلفة: نظرية التشتت، والإشعاع الكهرومغناطيسي والصوتي، وميكانيكا الكم (الموجات الجزئية للجسيم الحر). تتعامل هذه النسخة المُعاد بناؤها مع الرتبة الصحيحة \(v \ge 0\) والوسيط الحقيقي \(x > 0\).
طريقة الاستخدام
أدخل الرتبة \(v\) (عدد صحيح غير سالب مثل 0 أو 1 أو 2) والوسيط \(x\) (عدد حقيقي موجب). اضغط على «احسب» للحصول على المقادير الأربعة جميعها. لاحظ أن قيمتي \(y_v(x)\) و\(y'_v(x)\) تتباعدان نحو ما لا نهاية عندما تقترب \(x\) من الصفر، لذا تُظهرهما الأداة بقيمة لا نهائية عند \(x = 0\)؛ أما \(j_0(0)\) فتساوي 1 كقيمة حدّية.
شرح المعادلة
تحقّق هذه الدوال المعادلة \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). انطلاقًا من الصيغتين المغلقتين \(j_0 = \sin(x)/x\) و \(y_0 = -\cos(x)/x\)، تُشتق الرتب الأعلى عبر علاقة التكرار ثلاثية الحدود $$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}\,f_n - f_{n-1}.$$ يكون التكرار التصاعدي مستقرًا بالنسبة لـ \(y_v\)، لكنه غير مستقر بالنسبة لـ \(j_v\) عندما يكون \(n > x\)، لذا نستخدم تكرار ميلر التنازلي: نبدأ من رتبة عالية مع ضبط \(f\) على القيمتين 0 و1، ثم نُكرّر تنازليًا، وأخيرًا نُعيد قياس كل القيم بحيث يطابق حدّ الرتبة 0 القيمة \(\sin(x)/x\). أما المشتقات فتُحسب عبر \(j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x}j_v\).
مثال محلول (\(v = 0\)، \(x = 2\))
$$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0.4546487134.$$ $$y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0.2080734183.$$ وبما أن \(j'_0 = -j_1\)، نحصل على \(j'_0(2) = -0.4353977750\)، ومن العلاقة \(y'_0 = -y_1\) نحصل على \(0.3506120043\).
الأسئلة الشائعة
هل تدعم الحاسبة القيم العقدية لـ \(x\)؟ لا. كانت الصفحة الأصلية تقبل الوسائط العقدية، أما هذه النسخة المُعاد بناؤها فتقتصر على القيم الحقيقية \(x > 0\) من أجل الوضوح والسرعة.
لماذا تكون \(y_v\) لا نهائية عند \(x = 0\)؟ تملك دوال النوع الثاني قطبًا عند نقطة الأصل، لذا تتزايد قيمها بلا حدود كلما اقتربت \(x\) من الصفر.
ما مدى دقتها؟ تستخدم الحسابات الدقة المضاعفة (double precision)، ما يمنح نحو 15 رقمًا معنويًا، وهو ما يفوق الحاجة في معظم الأعمال الهندسية والفيزيائية المعتادة.
