Công cụ này làm được gì
Công cụ này tính hàm Bessel cầu loại một jv(x), hàm Bessel cầu loại hai yv(x) cùng các đạo hàm bậc nhất j'v(x) và y'v(x). Đây là những nghiệm theo bán kính của phương trình sóng và phương trình Helmholtz trong hệ tọa độ cầu, xuất hiện ở khắp nơi trong vật lý: lý thuyết tán xạ, bức xạ điện từ và âm học, cũng như cơ học lượng tử (sóng riêng phần của hạt tự do). Phiên bản dựng lại này xử lý bậc nguyên v ≥ 0 và đối số thực x > 0.
Cách sử dụng
Nhập bậc v (một số nguyên không âm như 0, 1, 2) và đối số x (một số thực dương). Nhấn nút tính để nhận cả bốn giá trị. Lưu ý rằng yv(x) và y'v(x) tiến ra vô cực khi x tiến về 0, nên công cụ sẽ báo chúng là vô cùng tại x = 0; còn j0(0) bằng 1 xét theo giới hạn.
Giải thích công thức
Các hàm này thỏa mãn phương trình \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\).
$$j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,J_{n+\frac{1}{2}}(x), \qquad y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,Y_{n+\frac{1}{2}}(x)$$Bắt đầu từ các dạng đóng \(j_0 = \sin(x)/x\) và \(y_0 = -\cos(x)/x\), các bậc cao hơn được tính theo công thức truy hồi ba số hạng \(f_{n+1} = \frac{2n+1}{x} f_n - f_{n-1}\). Truy hồi đi lên ổn định với yv, nhưng với jv thì không ổn định khi n > x, nên ta dùng truy hồi đi xuống của Miller: xuất phát từ một bậc cao với f đặt bằng 0 và 1, truy hồi đi xuống, rồi tỷ lệ lại mọi giá trị sao cho số hạng bậc 0 khớp với sin(x)/x. Đạo hàm tính theo \(j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x} j_v\).
Ví dụ minh họa (v = 0, x = 2)
$$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0.4546487134$$ $$y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0.2080734183$$ Vì \(j'_0 = -j_1\) nên ta có \(j'_0(2) = -0.4353977750\), và \(y'_0 = -y_1\) cho kết quả \(0.3506120043\).
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có hỗ trợ x phức không? Không. Trang gốc cho phép nhập đối số phức, nhưng bản dựng lại này chỉ giới hạn ở x thực > 0 để rõ ràng và nhanh hơn.
Vì sao yv vô cực tại x = 0? Các hàm loại hai có một cực điểm tại gốc tọa độ, nên giá trị của chúng tăng không giới hạn khi x tiến về 0.
Độ chính xác ra sao? Phép tính dùng độ chính xác kép (double precision), cho khoảng 15 chữ số có nghĩa, dư sức cho các bài toán kỹ thuật và vật lý thông thường.
