Hàm Bessel cầu loại hai là gì?
Hàm Bessel cầu loại hai, ký hiệu \(y_v(x)\), là một nghiệm của phương trình vi phân Bessel cầu \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). Hàm này xuất hiện rộng rãi trong vật lý — từ lý thuyết tán xạ, cơ học lượng tử (phương trình Schrödinger xuyên tâm cho hạt tự do), đến các bài toán sóng điện từ và sóng âm có đối xứng cầu. Khác với hàm loại một \(j_v(x)\), hàm loại hai \(y_v(x)\) phân kỳ về âm vô cực khi \(x\) tiến tới 0.
Cách sử dụng máy tính
Nhập bậc \(v\) (bất kỳ số thực nào; phổ biến nhất là các số nguyên không âm nhỏ), giá trị \(x\) ban đầu, bước nhảy giữa các giá trị \(x\) liên tiếp, và số hàng cần tạo. Công cụ sẽ dựng bảng giá trị \(x\) cùng \(y_v(x)\) và vẽ đồ thị kết quả. Vì \(x = 0\) là điểm kỳ dị nên bất kỳ hàng nào có \(x \le 0\) sẽ được báo là "không xác định".
Công thức
Hàm này được định nghĩa từ hàm Bessel trụ loại hai:
$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$Với bậc nguyên, ta có các dạng đóng cơ bản, chẳng hạn \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) và \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). Các bậc cao hơn tuân theo công thức truy hồi tiến
$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$
Ví dụ minh họa
Với bậc \(v = 1\), \(x\) ban đầu \(= 2\):
$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$Với \(v = 0\) và \(x = 1, 2, 3\) ta được \(-0.540302\), \(0.208073\), \(0.329998\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(x = 0\) lại không xác định? Thừa số \(\sqrt{\pi/(2x)}\) và các số hạng \(1/x\) đều tiến tới vô cùng, nên \(y_v(0) = -\infty\).
\(x\) có thể âm không? Theo quy ước thực chuẩn, \(y_v(x)\) chỉ nhận giá trị thực khi \(x > 0\); với \(x\) âm, kết quả được báo là không xác định.
Điều gì xảy ra khi \(x\) rất lớn? Hàm dao động với biên độ giảm dần theo \(1/x\): \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\).
