Qu'est-ce que la fonction de Bessel sphérique de seconde espèce ?
La fonction de Bessel sphérique de seconde espèce, notée \(y_v(x)\), est une solution de l'équation différentielle de Bessel sphérique \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). On la rencontre dans de nombreux domaines de la physique : théorie de la diffusion, mécanique quantique (l'équation radiale de Schrödinger pour une particule libre), problèmes d'ondes électromagnétiques et acoustiques à symétrie sphérique. Contrairement à la fonction de première espèce \(j_v(x)\), la fonction de seconde espèce \(y_v(x)\) diverge vers moins l'infini lorsque \(x\) tend vers 0.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'ordre \(v\) (n'importe quel nombre réel ; les petits entiers positifs ou nuls sont les plus courants), la valeur initiale de \(x\), le pas entre deux valeurs successives de \(x\) et le nombre de lignes à générer. L'outil construit une table de \(x\) et de \(y_v(x)\) ainsi qu'un graphique du résultat. Comme \(x = 0\) constitue une singularité, toute ligne où \(x \le 0\) est signalée comme « non défini ».
La formule
La fonction se définit à partir de la fonction de Bessel cylindrique de seconde espèce :
$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$Pour un ordre entier, on dispose de formes closes élémentaires, par exemple \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) et \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). Les ordres supérieurs s'obtiennent par la récurrence ascendante
$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$
Exemple résolu
Pour l'ordre \(v = 1\) et \(x = 2\) au départ :
$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0{,}4161468}{4} - \frac{0{,}9092974}{2} = 0{,}1040367 - 0{,}4546487 = -0{,}3506120$$Pour \(v = 0\) avec \(x = 1, 2, 3\), on obtient \(-0{,}540302\), \(0{,}208073\), \(0{,}329998\).
FAQ
Pourquoi \(x = 0\) est-il non défini ? Le facteur \(\sqrt{\pi/(2x)}\) et les termes en \(1/x\) divergent, de sorte que \(y_v(0) = -\infty\).
\(x\) peut-il être négatif ? Dans la convention réelle standard, \(y_v(x)\) n'est réelle que pour \(x > 0\) ; une valeur négative de \(x\) est signalée comme non définie.
Que se passe-t-il pour les grandes valeurs de \(x\) ? La fonction oscille avec une enveloppe décroissante en \(1/x\) : \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\).
