À quoi sert ce calculateur
Cet outil tabule la fonction de Bessel sphérique de première espèce, \(j_{\nu}(x)\), pour une suite de valeurs de x. Vous définissez l'ordre \(\nu\), la valeur de départ de x, le pas d'incrémentation et le nombre de lignes à générer. Le calculateur renvoie un tableau à deux colonnes regroupant les couples \((x, j_{\nu}(x))\). Il s'agit de mathématiques pures, qui s'appliquent à l'identique partout : aucune hypothèse de pays ni d'unité n'entre en jeu.
Comment l'utiliser
Saisissez l'ordre \(\nu\) (qui peut être n'importe quel nombre réel, par exemple 0, 1, 2 ou 1,5), la valeur initiale de x, l'incrément ajouté à x à chaque ligne, ainsi que le nombre de lignes. Chaque ligne k utilise \(x_k = x_{\text{initial}} + k\cdot\text{pas}\). Le premier chiffre mis en avant affiche \(j_{\nu}\) à la toute première valeur de x ; le tableau liste ensuite chaque valeur générée.
La formule expliquée
Pour un ordre réel quelconque, $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\cdot J_{\nu+\frac{1}{2}}(x),$$ où J désigne la fonction de Bessel ordinaire de première espèce, évaluée via son développement en série entière à l'aide d'une fonction gamma de Lanczos. Pour un ordre entier, le calculateur recourt aux formes fermées numériquement stables \(j_0(x) = \sin(x)/x\) et \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\), puis progresse grâce à la récurrence ascendante $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x).$$ En \(x = 0\), on applique la limite : \(j_0(0) = 1\) et \(j_n(0) = 0\) pour \(\nu > 0\), ce qui évite toute division par zéro.
Exemple concret
Avec l'ordre \(\nu = 0\), \(x_{\text{initial}} = 0\), pas = 0,2 et 6 lignes, on obtient x = 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0. En appliquant \(j_0(x) = \sin(x)/x\) : $$j_0(0)=1,\quad j_0(0{,}2)=0{,}993347,\quad j_0(0{,}4)=0{,}973546,\quad j_0(0{,}6)=0{,}941071,\quad j_0(0{,}8)=0{,}896695,\quad j_0(1{,}0)=0{,}841471$$ — la fameuse courbe en sinus cardinal amorti.
FAQ
L'ordre peut-il être fractionnaire ? Oui. Un \(\nu\) non entier utilise la forme en série \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\).
Pourquoi la première valeur vaut-elle exactement 1 lorsque x part de 0 ? Parce que \(j_0(0) = 1\) par passage à la limite ; pour \(\nu > 0\), cette limite vaut 0.
La récurrence ascendante est-elle toujours fiable ? Pour des ordres modérés et des x typiques d'un affichage en tableau, oui. Lorsque l'ordre est très grand par rapport à x, la récurrence descendante est plus stable, mais ce cas est rarement nécessaire ici.
