Что делает этот калькулятор
Инструмент строит таблицу значений сферической функции Бесселя первого рода \(j_{\nu}(x)\) для последовательности значений \(x\). Вы задаёте порядок \(\nu\), начальное значение \(x\), шаг и количество строк, а калькулятор возвращает таблицу из двух столбцов — пары \((x, j_{\nu}(x))\). Это чистая математика, которая работает одинаково в любой стране: никаких привязок к валюте, единицам измерения или национальным нормам здесь нет.
Как пользоваться
Укажите порядок \(\nu\) (любое вещественное число, например 0, 1, 2 или 1.5), начальное значение \(x\), шаг, который прибавляется к \(x\) в каждой строке, и количество строк. Для строки \(k\) используется формула $$x_k = \text{начальное\_}x + k\cdot\text{шаг\_}x.$$ Крупное число вверху показывает \(j_{\nu}\) для самого первого значения \(x\), а в таблице перечислены все рассчитанные значения.
Разбор формулы
Для произвольного вещественного порядка $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x),$$ где \(J\) — обычная функция Бесселя первого рода, вычисляемая через степенной ряд с гамма-функцией по алгоритму Ланцоша. Для целого порядка калькулятор применяет численно устойчивые замкнутые формулы: \(j_0(x) = \sin(x)/x\) и \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\), а затем поднимается по восходящему рекуррентному соотношению $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x).$$ В точке \(x = 0\) берётся предел: \(j_0(0) = 1\) и \(j_n(0) = 0\) при \(\nu > 0\), что исключает деление на ноль.
Пример расчёта
При \(\nu = 0\), начальном \(x = 0\), шаге 0.2 и 6 строках получаем \(x = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0\). По формуле \(j_0(x) = \sin(x)/x\): $$j_0(0)=1,\quad j_0(0.2)=0.993347,\quad j_0(0.4)=0.973546,$$ $$j_0(0.6)=0.941071,\quad j_0(0.8)=0.896695,\quad j_0(1.0)=0.841471$$ — это знакомая затухающая кривая sinc.
Частые вопросы
Может ли порядок быть дробным? Да. Для нецелого \(\nu\) используется представление через ряд \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\).
Почему первое значение равно ровно 1, если \(x\) начинается с 0? Потому что \(j_0(0) = 1\) по пределу; для \(\nu > 0\) этот предел равен 0.
Всегда ли безопасна восходящая рекурсия? Для умеренных порядков и обычных для таблиц значений \(x\) — да. При очень большом порядке относительно \(x\) устойчивее нисходящая рекурсия, но в этом калькуляторе она почти никогда не требуется.
